Encontre uma solução geral para a equação dada: y^prime prime prime+y^prime prime+3 y^prime-5 y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' + y'' + 3y' - 5y = 0
O conteúdo aqui é o método da equação característica, assumindo soluções da forma y=e^rx.

Passo 2

Partimos de y=e^rx, então:
y'=r e^rx,
y''=r^2 e^rx,
y'''=r^3 e^rx
Substituindo na equação diferencial e dividindo por e^rxneq0 obtemos a equação característica
r^3 + r^2 + 3r - 5 = 0
Para achar raízes, usamos o teorema das raízes racionais: testamos divisores de ±5. Logo, r=1 é raiz.

Passo 3

Dividindo o polinômio por (r-1) (divisão sintética ou algébrica) fica:
r^3 + r^2 + 3r - 5 = (r - 1)(r^2 + 2r + 5)
Agora resolvemos a quadrática r^2 + 2r + 5 = 0 pela fórmula de Bhaskara:
r = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot52 = -2 pm raiz-162 = -1 pm 2i

Passo 4

Como as raízes são r1=1 (real) e r2,3=-1pm2i (complexas conjugadas), a solução geral é combinação linear de:
e^x e e^-xcos2x, e^-xsin2x.
Portanto,

Resposta

y(x) = C1 e^x + e^-xl(C2cos(2x) + C3sin(2x))

Exercícios relacionados