Ache uma solução geral para a equação diferencial dada: z^prime prime-6 z^prime+10 z=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, dada por ,z'' - 6z' + 10z = 0. Vamos resolver usando o método da equação característica.

Passo 2

Procuramos soluções da forma ,z(x)=e^lambda x. Substituindo na equação diferencial, obtemos a equação característica
lambda^2 - 6lambda + 10 = 0
Calculamos o discriminante:
De<a = (-6)^2 - 4cdot1cdot10 = 36 - 40 = -4,
que é negativo, indicando raízes complexas.

Passo 3

As raízes da característica são
lambda = 6 pm raiz-42 = 3 pm i
Aqui alpha = 3 e beta = 1. Quando as raízes são alpha pm ibeta, a solução geral da equação diferencial é
z(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r),
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

Resposta

z(x) = e^3xl(C1cos x + C2sin xr)

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