Mostre que, se e forem duas funções diferenciáveis quaisquer que são linearmente dependentes de , então seu wronskiano é identicamente zero em .
Passo 1
O enunciado diz que temos duas funções diferenciáveis e que são linearmente dependentes num intervalo . O conteúdo aqui é dependência linear de funções e o conceito de wronskiano. A missão é mostrar que, sob essa dependência, o wronskiano é zero em todo .
Passo 2
Se e são linearmente dependentes em , existem constantes e , nem ambas nulas, tais que
Como as funções são diferenciáveis, podemos derivar a relação acima e obter
Passo 3
Agora, escrevemos o wronskiano
Passo 4
Para mostrar que W(t)=0, multiplica-se a primeira relação por y2'(t) e a segunda por y2(t) e subtrai-se:
A,y1(t)y2'(t)+B,y2(t)y2'(t)=0,
A,y1'(t)y2(t)+B,y2'(t)y2(t)=0
Subtraindo membro a membro sai Al(y1(t)y2'(t)-y2(t)y1'(t)r)=0,
ou seja A,W(t)=0. Como A e B não são ambos nulos, temos duas possibilidades:
Passo 5
• Se Aneq0, então W(t)=0.
• Se A=0, então Bneq0 e da relação inicial B,y2(t)=0 vem y2(t)equiv0, logo W(t)=y1(t)cdot0-0cdot y1'(t)=0.
Resposta
O wronskiano W(t) é identicamente zero em todo o intervalo I.