Mostre que, se y1(t) e y2(t) forem duas funções diferenciáveis quaisquer que são linearmente dependentes de I, então seu wronskiano é identicamente zero em I.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções diferenciáveis y1(t) e y2(t) que são linearmente dependentes num intervalo I. O conteúdo aqui é dependência linear de funções e o conceito de wronskiano. A missão é mostrar que, sob essa dependência, o wronskiano é zero em todo I.

Passo 2

Se y1 e y2 são linearmente dependentes em I, existem constantes A e B, nem ambas nulas, tais que
A,y1(t)+B,y2(t)=0forall tin I
Como as funções são diferenciáveis, podemos derivar a relação acima e obter
A,y1'(t)+B,y2'(t)=0forall tin I

Passo 3

Agora, escrevemos o wronskiano
W(t)=y1(t)&y2(t)y1'(t)&y2'(t)=y1(t)y2'(t)-y2(t)y1'(t)

Passo 4

Para mostrar que W(t)=0, multiplica-se a primeira relação por y2'(t) e a segunda por y2(t) e subtrai-se:
A,y1(t)y2'(t)+B,y2(t)y2'(t)=0,
A,y1'(t)y2(t)+B,y2'(t)y2(t)=0
Subtraindo membro a membro sai
Al(y1(t)y2'(t)-y2(t)y1'(t)r)=0,
ou seja A,W(t)=0. Como A e B não são ambos nulos, temos duas possibilidades:

Passo 5

• Se Aneq0, então W(t)=0.
• Se A=0, então Bneq0 e da relação inicial B,y2(t)=0 vem y2(t)equiv0, logo W(t)=y1(t)cdot0-0cdot y1'(t)=0.

Resposta

O wronskiano W(t) é identicamente zero em todo o intervalo I.

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