Se u(t)=lang<=sen t, cos t, trang<= e v(t)=lang<= t, cos t, sen trang<=, utilize a Fórmula 4 do Teorema 3 para encontrar
dd t[u(t) cdot v(t)]

Passo 1

O enunciado dá as funções vetoriais
u(t)=lang<=sin t,cos t,trang<= e v(t)=lang<= t,cos t,sin trang<=
e pede ddt[u(t)cdotv(t)].
O conteúdo é a regra do produto escalar para derivadas, que diz que
ddt[u(t)cdotv(t)] =u'(t)cdotv(t) +u(t)cdotv'(t)

Passo 2

Vamos calcular primeiro u'(t) e v'(t).
u'(t) =llang<=(sin t)',(cos t)',(t)'rrang<= =lang<=cos t,,-sin t,,1rang<=,
v'(t) =llang<=(t)',(cos t)',(sin t)'rrang<= =lang<=1,,-sin t,,cos trang<=

Passo 3

Agora computamos os dois produtos escalares da regra:
u'(t)cdotv(t):
u'(t)cdotv(t) =lang<=cos t,-sin t,1rang<=cdotlang<= t,cos t,sin trang<= =tcos t ;-;sin tcos t;+;sin t
u(t)cdotv'(t):
u(t)cdotv'(t) =lang<=sin t,cos t,trang<=cdotlang<=1,-sin t,cos trang<= =sin t ;-;cos t,sin t;+;tcos t

Passo 4

Somando os dois resultados:
ddt[ucdotv] =(tcos t-sin tcos t+sin t) +(sin t-cos tsin t+tcos t)
Agrupando termos semelhantes:
2tcos t;+;2sin t;-;2sin tcos t
Opcionalmente, note que 2sin tcos t=sin(2t), então fica
2tcos t+2sin t-sin(2t)

Resposta

ddt[u(t)cdotv(t)] =2tcos t+2sin t-2sin tcos t l(=2tcos t+2sin t-sin(2t)r)

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