Ache uma solução geral para a equação diferencial dada: 4 y^prime prime-4 y^prime+26 y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4,y''-4,y'+26,y=0
Para resolver, vamos usar o método da equação característica, que transforma a ODE numa equação algébrica em r.

Passo 2

Substituindo y=e^r x na ODE, temos
4,r^2 e^r x-4,r e^r x+26,e^r x=0
Como e^r xneq0, cancelamos esse fator e obtemos a equação característica
4,r^2-4,r+26=0

Passo 3

Calculamos o discriminante
De<a =(-4)^2-4cdot4cdot26=16-416=-400
Portanto as raízes são complexas conjugadas
r=4pmraiz-4008=4pm20,i8=12pm52,i

Passo 4

Para raízes r=alphapm ibeta com alpha=tfrac12 e beta=tfrac52, a solução geral da ODE é
y(x)=e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r)
Substituindo alpha e beta, temos a forma final.

Resposta

y(x)=e^tfracx2l(C1cosl(tfrac5x2r)+C2sinl(tfrac5x2r)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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