Use a Definição 1 para determinar se as funções y1 e y2 são linearmente dependentes do intervalo (0,1). y1(t) equiv 0, y2(t)=e^t

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções em (0,1):
y1(t)equiv 0, y2(t)=e^t
e pede para usar a Definição 1 de dependência linear, ou seja: existem constantes c1,c2, não simultaneamente nulas, tais que
c1,y1(t) + c2,y2(t) = 0 para todo tin(0,1)?

Passo 2

Escrevemos a combinação linear geral:
c1,y1(t) + c2,y2(t) = c1cdot 0 + c2,e^t = c2,e^t

Passo 3

Para que c2,e^t=0 em todo (0,1), como e^t>0 nesse intervalo, é necessário que
c2=0
Mas podemos escolher c1neq 0 livremente (por exemplo c1=1), e assim obter uma combinação não trivial que seja identicamente zero.

Passo 4

Como existe escolha de (c1,c2)neq(0,0) — por exemplo (1,0) — tal que
c1,y1(t)+c2,y2(t)=0
para todo t, concluímos que as funções são linearmente dependentes em (0,1).

Resposta

As funções y1 e y2 são linearmente dependentes em (0,1).

Exercícios relacionados