(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).
(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
17. r(t)=lang<= t, 3 cos t, 3 sen trang<=

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=lang<= t,,3cos t,,3sin trang<=
e pede (a) o vetor tangente unitário T(t) e o vetor normal unitário N(t), e (b) a curvatura kappa usando a fórmula
kappa=|T'(t)||r'(t)|

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada
r'(t) =llang<= 1,,-3sin t,;3cos trrang<=
e seu módulo
|r'(t)| =raiz1 + (-3sin t)^2 + (3cos t)^2 =raiz1+9(sin^2 t+cos^2 t) =raiz10

Passo 3

O vetor tangente unitário é
T(t) =r'(t)|r'(t)| =1raiz10llang<= 1,,-3sin t,;3cos trrang<=

Passo 4

Agora derivamos T(t):
T'(t) =1raiz10llang<= 0,,-3cos t,,-3sin trrang<=
e seu módulo é
|T'(t)| =1raiz10raiz(-3cos t)^2+(-3sin t)^2 =1raiz10cdot 3 =3raiz10

Passo 5

O vetor normal unitário vem de
N(t) =T'(t)|T'(t)| =tfrac1raiz10lang<=0,,-3cos t,,-3sin trang<=tfrac3raiz10 =lang<=0,,-cos t,,-sin trang<=

Passo 6

Finalmente, pela fórmula 9 para a curvatura:
kappa =|T'(t)||r'(t)| =tfrac3raiz10raiz10 =310

Resposta

(a) T(t)=1raiz10lang<=1,,-3sin t,;3cos trang<=,
N(t)=lang<=0,,-cos t,,-sin trang<=.
(b) kappa=tfrac310.

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