Ache uma solução geral para a equação diferencial dada: w^prime prime+4 w^prime+6 w=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
w'' + 4,w' + 6,w = 0
Para resolver, vamos usar o método da equação característica: assumimos uma solução do tipo w(x)=e^r x e obtemos uma equação polinomial em r.

Passo 2

Substituindo w(x)=e^r x em w'' + 4,w' + 6,w = 0 temos
r^2 e^r x + 4,r e^r x + 6,e^r x = 0
Como e^r xneq0, a parte que importa é a equação característica
r^2 + 4r + 6 = 0

Passo 3

Resolvendo
r^2 + 4r + 6 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
De<a = 4^2 - 4cdot1cdot6 = 16 - 24 = -8
Logo
r = -4 pm raiz-82 = -4 pm 2,iraiz22 = -2 pm iraiz2

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas r1,2 = -2 pm iraiz2, a solução geral real da EDO é
w(x) = e^-2x(C1cos(raiz2,x) + C2sin(raiz2,x)),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

w(x) = e^-2x(C1cos(raiz2,x) + C2sin(raiz2,x))

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