Encontre uma solução geral para a equação dada: z^prime prime+10 z^prime+25 z=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
z'' + 10,z' + 25,z = 0
O método para resolver esse tipo de equação é usar a equação característica.

Passo 2

Assumimos solução da forma z(t)=e^lambda t. Substituindo na equação, obtemos a equação característica
lambda^2 + 10,lambda + 25 = 0
Calculamos o discriminante:
De<a = 10^2 - 4cdot1cdot25 = 100 - 100 = 0.
Como De<a=0, há uma raiz dupla
lambda = -tfrac102 = -5.

Passo 3

Para raiz dupla lambda=-5, as duas soluções fundamentais são
;e^-5t; e ;t,e^-5t;.
Portanto, a solução geral da equação é combinação linear dessas duas:
z(t) = l(C1 + C2,tr)e^-5t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

z(t) = l(C1 + C2,tr)e^-5t

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