Encontre uma solução geral para a equação dada: y^prime prime-3 y^prime-11 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de 2º ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y' - 11y = 0 .
O conteúdo envolvido é encontrar a equação característica, calcular suas raízes e montar a solução a partir delas.

Passo 2

Associe à ODE a equação característica
r^2 - 3r - 11 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara para ar^2 + br + c = 0, com a=1, b=-3, c=-11, obtemos
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a = 3 pm raiz(-3)^2 - 4cdot1cdot(-11)2 = 3 pm raiz9 + 442 = 3 pm raiz532

Passo 3

Como as duas raízes
r1 = tfrac3 + raiz532 e
r2 = tfrac3 - raiz532
são reais e distintas, a solução geral é dada por
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^3 + raiz532,x + C2 e^3 - raiz532,x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^3 + raiz532x + C2 e^3 - raiz532x

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