Use a Definição 1 para determinar se as funções
e
são linearmente dependentes do intervalo
.
Passo 1
O enunciado nos dá as funções
e
definidas em
por
Queremos usar a definição de dependência linear: dizemos que
e
são linearmente dependentes se existem constantes
, não simultaneamente nulas, tais que
para todo
.
Passo 2
Suponha que existam
, não ambas nulas, satisfazendo
para todo
. Como
em
, dividimos por
e obtemos
para todo
.
Passo 3
Faça a troca de variável
. Quando
varia em
,
varia em
. A condição torna-se
para todo
. Sabemos que
e
são funções linearmente independentes em qualquer intervalo real, logo a única solução é
e
.
Resposta
As únicas constantes que anulam identicamente a combinação linear são
. Portanto,
e
são linearmente independentes em
.