Use a Definição 1 para determinar se as funções y1 e y2 são linearmente dependentes do intervalo (0,1). y1(t)=t^2 cos (ln t), y2(t)=t^2 sen(ln t)

Passo 1

O enunciado nos dá as funções y1 e y2 definidas em (0,1) por
y1(t)=t^2cos(ln t), y2(t)=t^2sin(ln t)
Queremos usar a definição de dependência linear: dizemos que y1 e y2 são linearmente dependentes se existem constantes c1,c2, não simultaneamente nulas, tais que
c1,y1(t)+c2,y2(t)=0
para todo tin(0,1).

Passo 2

Suponha que existam c1,c2, não ambas nulas, satisfazendo
c1,t^2cos(ln t)+c2,t^2sin(ln t)=0
para todo tin(0,1). Como t^2>0 em (0,1), dividimos por t^2 e obtemos
c1cos(ln t)+c2sin(ln t)=0
para todo tin(0,1).

Passo 3

Faça a troca de variável u=ln t. Quando t varia em (0,1), u varia em (-infty,0). A condição torna-se
c1cos(u)+c2sin(u)=0
para todo uin(-infty,0). Sabemos que cos(u) e sin(u) são funções linearmente independentes em qualquer intervalo real, logo a única solução é c1=0 e c2=0.

Resposta

As únicas constantes que anulam identicamente a combinação linear são c1=c2=0. Portanto, y1 e y2 são linearmente independentes em (0,1).

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