Ache a solução geral da equação diferencial dada.
x^2 d yd x+x(x+2) y=e^x.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
x^2,dydx+x(x+2),y = e^x
Isso é uma equação linear de 1ª ordem em y. Vamos primeiro colocá-la na forma padrão
dydx + p(x),y = q(x)
para, em seguida, aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividindo a equação por x^2 (supondo xneq0), obtemos
dydx + x+2x,y = e^xx^2
Aqui identificamos
p(x)=x+2x, q(x)=e^xx^2
O fator integrante é
mu(x) = expl(integral p(x),dxr) = expl(integrall(1+tfrac2xr)dxr) = e^x,x^2

Passo 3

Multiplicando toda a equação padrão por mu(x)=e^xx^2, temos
e^xx^2,dydx + (x+2)e^xx,y = e^xx^2,e^xx^2 = e^2x
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
ddxl(y,e^xx^2r)

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a x, fica
y,e^xx^2 = integral e^2x,dx = tfrac12,e^2x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y, obtemos
y = tfrac12,e^2x + Ce^xx^2 = e^x2x^2 ;+;C,e^-xx^2

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = e^x2x^2 + C,e^-xx^2,
com C constante arbitrária.

Exercícios relacionados