Se g(x)=(x^2+5)^(9 x+1), qual dos números abaixo é a melhor aproximaçāo (com duas casas decimais) para g^prime(0)?
71,82
72,02
71,62
73,22
Nenhuma Das Outras Respostas Está Correta
72,82
73,02
72,42
72,22
73,42
72,62

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a melhor aproximação para g'(0) , onde g(x) = (x^2+5)^(9x+1) . Este problema envolve o cálculo de derivadas, especificamente aplicando regras de derivação de funções compostas e exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função g(x) para facilitar a derivação:
g(x) = (x^2 + 5)^9x + 1
Para derivar essa função, vamos usar a técnica de diferenciação logarítmica. Começamos tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
ln(g(x)) = (9x + 1) cdot ln(x^2 + 5)

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a x :
g'(x)g(x) = 9 cdot ln(x^2 + 5) + (9x + 1) cdot 2xx^2 + 5
Aqui, usamos a regra do produto na derivada do lado direito.

Passo 4

Isolando g'(x) :
g'(x) = g(x) cdot [9 cdot ln(x^2 + 5) + (9x + 1) cdot 2xx^2 + 5]

Passo 5

Vamos avaliar g(0) :
g(0) = (0^2 + 5)^9 cdot 0 + 1 = 5^1 = 5

Passo 6

Agora, substituímos x = 0 na expressão da derivada:
g'(0) = 5 cdot [9 cdot ln(0^2 + 5) + (9 cdot 0 + 1) cdot 2 cdot 00^2 + 5]
Simplificando:
g'(0) = 5 cdot [9 cdot ln(5) + 0] = 5 cdot 9 cdot ln(5)

Passo 7

Calculando os valores numéricos:
ln(5) approx 1,6094
g'(0) approx 5 cdot 9 cdot 1,6094 = 5 cdot 14,4846 = 72,423
Arredondando para duas casas decimais:
g'(0) approx 72,42

Resposta

72,42

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