Seja theta um ângulo do primeiro quadrante tal que cos theta=1718. Se g(x)=-cot x, qual dos números abaixo corresponde a g^prime(theta)?
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Nenhuma Das Outras Respostas Está Correta
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ângulo theta no primeiro quadrante onde cos theta = 1718. A função dada é g(x) = -cot x e queremos descobrir qual valor corresponde à derivada dessa função quando x = theta, ou seja, g'(theta). Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas de funções trigonométricas e relações trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função g(x) = -cot x. Sabemos que a derivada de cot x é -csc^2 x. Então:
g'(x) = ddx(-cot x) = -ddx(cot x) = -(-csc^2 x) = csc^2 x
Então, g'(theta) = csc^2 theta.

Passo 3

Agora, precisamos calcular csc theta. A cosecante de theta é o inverso do seno de theta:
csc theta = 1sin theta
Para encontrar sin theta, vamos usar a relação trigonométrica fundamental:
sin^2 theta + cos^2 theta = 1
Sabemos que cos theta = 1718, então:
sin^2 theta = 1 - cos^2 theta = 1 - (1718)^2 = 1 - 289324 = 35324
Portanto:
sin theta = raiz35324 = raiz3518

Passo 4

Agora que temos sin theta, podemos encontrar csc theta:
csc theta = 1sin theta = 1raiz3518 = 18raiz35
Para facilitar, vamos racionalizar o denominador:
csc theta = 18raiz35 times raiz35raiz35 = 18raiz3535

Passo 5

Agora, calculamos csc^2 theta:
csc^2 theta = (18raiz3535)^2 = 324 times 351225 = 113401225 = 32435

Resposta

g'(theta) = 32435

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