Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução geral está definida.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral e o maior intervalo
em que ela está definida. Vamos ver que é uma equação linear em
como função de
.
Passo 2
Reescrevendo em termos de derivada de
em relação a
:
Isso mostra que temos a forma padrão
com
e
.
Passo 3
O fator integrante é
Passo 4
Multiplicando toda a equação por
obtemos
que reconhecemos como a derivada do produto:
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Para calcular
,
usamos integração por partes duas vezes e achamos
usamos integração por partes duas vezes e achamos
onde
é constante que absorvemos em
. Logo,
Passo 6
Para que tudo faça sentido precisamos de
(não podemos dividir por zero). Assim, a solução geral está definida em qualquer intervalo que não contenha
. Os maiores intervalos ligados são
Resposta
A solução geral é
e o maior intervalo de definição é
ou
, pois em
a equação deixa de estar bem definida.