Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.
y d x=(y e^y-2 x) d y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y,dx = l(y e^y - 2xr),dy
e pede a solução geral e o maior intervalo I em que ela está definida. Vamos ver que é uma equação linear em x como função de y.

Passo 2

Reescrevendo em termos de derivada de x em relação a y:
dxdy = y e^y - 2xy = e^y - 2y,x
Isso mostra que temos a forma padrão
dxdy + P(y),x = Q(y),
com P(y)=2/y e Q(y)=e^y.

Passo 3

O fator integrante é
mu(y) = expl(integral P(y),dyr) = expl(integral tfrac2y,dyr) = expl(2ln|y|r) = y^2

Passo 4

Multiplicando toda a equação por y^2 obtemos
y^2dxdy + 2y,x = y^2e^y,
que reconhecemos como a derivada do produto:
ddyl(x,y^2r) = y^2e^y
Agora integramos ambos os lados em relação a y:
x,y^2 = integral y^2e^y,dy + C

Passo 5

Para calcular
integral y^2e^ydy,
usamos integração por partes duas vezes e achamos
integral y^2e^ydy = e^yl(y^2-2y+2r) + K,
onde K é constante que absorvemos em C. Logo,
x,y^2 = e^yl(y^2-2y+2r) + C Longrightarrow x = e^y(y^2-2y+2) + Cy^2

Passo 6

Para que tudo faça sentido precisamos de yneq0 (não podemos dividir por zero). Assim, a solução geral está definida em qualquer intervalo que não contenha y=0. Os maiores intervalos ligados são
I = (0,infty) ou I = (-infty,0)

Resposta

A solução geral é
x = e^y(y^2-2y+2) + Cy^2,
e o maior intervalo de definição é I=(0,infty) ou I=(-infty,0), pois em y=0 a equação deixa de estar bem definida.

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