Dados \vec{u}=(m, n, 1), \vec{v}=(5,3,-3) e \vec{w}=(0,3,4). Qual o valor de -20 n+21 m para que se tenha (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})=400.
Resposta
386
-385
385
-414
-415

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações: as componentes dos vetores são \vec{u}=(m,n,1), \vec{v}=(5,3,-3) e \vec{w}=(0,3,4). Pede-se encontrar o valor de -20n+21m sob a condição de que (\vec{u},\vec{v},\vec{w})=400. Aqui (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é um número dado no enunciado (igual a 400) e devemos usar as informações dos vetores para relacionar m e n.

Passo 2

Vamos entender o que significa (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) em termos práticos (aula rápida e direta): o produto misto (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores. Ou seja, podemos escrever
(\vec{u},\vec{v},\vec{w})= \begin{vmatrix} m & n & 1\\[4pt] 5 & 3 & -3\\[4pt] 0 & 3 & 4 \end{vmatrix}.
É disso que vamos partir para calcular uma expressão envolvendo m e n.]

Passo 3

Como calcular o determinante de uma matriz 3\times3 de forma sistemática: expandindo pela primeira linha (cofator), temos a regra com sinais +,-,+. Aplicando isso à nossa matriz:
\begin{vmatrix} m & n & 1\\[4pt] 5 & 3 & -3\\[4pt] 0 & 3 & 4 \end{vmatrix} = m\cdot \begin{vmatrix} 3 & -3\\[4pt] 3 & 4 \end{vmatrix} - n\cdot \begin{vmatrix} 5 & -3\\[4pt] 0 & 4 \end{vmatrix} + 1\cdot \begin{vmatrix} 5 & 3\\[4pt] 0 & 3 \end{vmatrix}.
Aqui cada determinante 2\times2 é chamado de menor (ou cofator sem o sinal), e o sinal do termo segue o padrão +,-,+ porque estamos expandindo pela primeira linha.]

Passo 4

Calculemos o primeiro menor 2\times2:
\begin{vmatrix} 3 & -3\\[4pt] 3 & 4 \end{vmatrix} = 3\cdot 4 - (-3)\cdot 3 = 12 + 9 = 21.
Explicando: o determinante de \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} é ad-bc; aqui a=3, b=-3, c=3, d=4.]

Passo 5

Calculemos o segundo menor:
\begin{vmatrix} 5 & -3\\[4pt] 0 & 4 \end{vmatrix} = 5\cdot 4 - (-3)\cdot 0 = 20 - 0 = 20.
Novamente usamos ad-bc com a=5, b=-3, c=0, d=4.]

Passo 6

Calculemos o terceiro menor:
\begin{vmatrix} 5 & 3\\[4pt] 0 & 3 \end{vmatrix} = 5\cdot 3 - 3\cdot 0 = 15 - 0 = 15.]

Passo 7

Agora juntamos tudo conforme a expansão da Passo 3:
(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = m\cdot 21 - n\cdot 20 + 1\cdot 15 = 21m - 20n + 15.
Isto é uma expressão linear em m e n.

Passo 8

Impondo a condição do enunciado (\vec{u},\vec{v},\vec{w})=400, temos a equação
21m - 20n + 15 = 400.
Subtraindo 15 de ambos os lados obtemos
21m - 20n = 385.
Reescrevendo na forma pedida, isto é exatamente -20n + 21m = 385.

Resposta

385

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