Dados \vec{u}=(m, n, 1), \vec{v}=(5,3,-3) e \vec{w}=(0,3,4). Qual o valor de -20 n+21 m para que se tenha (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})=400.
Resposta
386
-385
385
-414
-415
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações: as componentes dos vetores são \vec{u}=(m,n,1), \vec{v}=(5,3,-3) e \vec{w}=(0,3,4). Pede-se encontrar o valor de -20n+21m sob a condição de que (\vec{u},\vec{v},\vec{w})=400. Aqui (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é um número dado no enunciado (igual a 400) e devemos usar as informações dos vetores para relacionar m e n.
Passo 2
Vamos entender o que significa (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) em termos práticos (aula rápida e direta): o produto misto (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores. Ou seja, podemos escrever
(\vec{u},\vec{v},\vec{w})= \begin{vmatrix} m & n & 1\\[4pt] 5 & 3 & -3\\[4pt] 0 & 3 & 4 \end{vmatrix}.
É disso que vamos partir para calcular uma expressão envolvendo m e n.]
Passo 3
Como calcular o determinante de uma matriz 3\times3 de forma sistemática: expandindo pela primeira linha (cofator), temos a regra com sinais +,-,+. Aplicando isso à nossa matriz:
Aqui cada determinante 2\times2 é chamado de menor (ou cofator sem o sinal), e o sinal do termo segue o padrão +,-,+ porque estamos expandindo pela primeira linha.]