ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida. Determine se há termos transientes na solução geral.
x y^{\prime}+(1+x) y=e^{-x} \operatorname{sen} 2 x

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
x\,y'(x)+(1+x)\,y(x)=e^{-x}\,\operatorname{sen} 2x
e pede:
  1. achar a solução geral y(x);
  2. dar o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida;
  3. determinar se há termos transientes na solução geral.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{coeficientes: }x\quad\text{e}\quad 1+x;\qquad\text{termo forçante: }e^{-x}\operatorname{sen} 2x.ç
Observação importante (extraída do próprio enunciado): o coeficiente de y' é x, logo x=0 é ponto singular da equação (não podemos dividir por x em x=0). Portanto qualquer solução geral só pode valer em intervalos que não contenham 0.

Passo 2

Transformamos a equação para a forma linear padrão y'+p(x)y=q(x) dividindo por x (válido somente onde x\neq 0):
y'+\left(1+\frac{1}{x}\right)y=\frac{e^{-x}\sin 2x}{x}.
Aqui identificamos
p(x)=1+\frac{1}{x},\qquad q(x)=\frac{e^{-x}\sin 2x}{x}.
Lembrete didático: para uma equação linear de primeira ordem
y'+p(x)y=q(x),
o método padrão é usar o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right),
pois então (\mu y)'=\mu q. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calculamos o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int \left(1+\frac{1}{x}\right)dx\right) =\exp\!\left(x+\ln|x|\right)=|x|e^{x}.
Explicação: \int 1\,dx=x e \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|. O valor absoluto aparece por causa do logaritmo; isso implica que devemos tratar separadamente os intervalos x>0 e x<0 (em cada um deles |x|= \pm x e o fator integrante é contínuo).

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=|x|e^{x}. O lado direito fica:
\mu(x)\cdot \frac{e^{-x}\sin 2x}{x}=|x|e^{x}\cdot\frac{e^{-x}\sin 2x}{x}=\frac{|x|}{x}\sin 2x.
Como \frac{|x|}{x}=\operatorname{sgn}(x) (igual a +1 para x>0 e -1 para x<0), obtemos a igualdade de derivada
\big(\mu(x)\,y(x)\big)'=\operatorname{sgn}(x)\sin 2x.
Agora integramos em cada ramo onde \operatorname{sgn}(x) é constante.

Passo 5

Primeiro considere x>0. Então \mu(x)=x e^{x} e
\big(xe^{x}y\big)'=\sin 2x.
Integramos:
x e^{x} y=\int \sin 2x\,dx + C = -\frac{1}{2}\cos 2x + C,
onde C é constante arbitrária. Assim, para x>0,
y(x)= -\frac{\cos 2x}{2x e^{x}}+\frac{C}{x e^{x}}.
Para x<0 temos \mu(x)=-x e^{x} e
\big(-x e^{x} y\big)'=-\sin 2x.
Integrando,
- x e^{x} y=\int -\sin 2x\,dx + C = \frac{1}{2}\cos 2x + C.
Multiplicando por -1,
x e^{x} y = -\frac{1}{2}\cos 2x + C',
com C'=-C também constante arbitrária. Portanto para x<0 obtemos a mesma fórmula (com constante possivelmente renomeada):
y(x)= -\frac{\cos 2x}{2x e^{x}}+\frac{C'}{x e^{x}}.
Conclusão técnica: em ambos os ramos a solução geral pode ser escrita na mesma forma formal
y(x)=-\frac{\cos 2x}{2x e^{x}}+\frac{C}{x e^{x}},
desde que x\neq 0 e entendendo que C é uma constante arbitrária diferente em cada componente do domínio conectado.

Passo 6

Maior intervalo I onde a solução geral está definida: devemos escolher intervalos conexos que não contenham 0. Assim os maiores intervalos em que a solução geral escrita acima vale são
I=(0,\infty)\quad\text{ou}\quad I=(-\infty,0).
Não existe uma solução geral contínua atravessando x=0 porque o ponto x=0 é singular (coeficiente de y' nulo).

Passo 7

Identificação dos termos transientes: a solução geral é soma de uma solução particular e de uma solução homogênea.
A parte homogênea é
y_h(x)=\frac{C}{x e^{x}}.
Esse é o termo “transiente” (resposta livre). Comportamento:
  • Para x\to +\infty, y_h(x)\sim C\,(x e^{x})^{-1}\to 0: o termo homogêneo decai e é de fato transiente no sentido que desaparece quando x\to+\infty.
  • Para x\to -\infty, e^{x}\to 0 e y_h(x) tende a explodir (não decai), portanto na região x\to -\infty não temos decaimento.
Assim há um termo transiente C/(x e^{x}); ele decai para 0 quando x\to+\infty (no ramo positivo) mas não decai no ramo negativo.

Resposta

y(x)=-\dfrac{\cos 2x}{2x e^{x}}+\dfrac{C}{x e^{x}},\; x\neq 0.
I=(0,\infty) ou I=(-\infty,0) (maiores intervalos conexos onde a solução geral vale).
Há termo transiente y_h(x)=\dfrac{C}{x e^{x}}; ele decai para 0 quando x\to+\infty (ramo positivo) mas não decai quando x\to-\infty.

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