ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução geral está definida. Determine se há termos transientes na solução geral.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede:
- achar a solução geral
; - dar o maior intervalo
sobre o qual a solução geral está definida; - determinar se há termos transientes na solução geral.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Observação importante (extraída do próprio enunciado): o coeficiente de
é
, logo
é ponto singular da equação (não podemos dividir por
em
). Portanto qualquer solução geral só pode valer em intervalos que não contenham
.
Passo 2
Transformamos a equação para a forma linear padrão
dividindo por
(válido somente onde
):
Aqui identificamos
Lembrete didático: para uma equação linear de primeira ordem
o método padrão é usar o fator integrante
pois então
. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calculamos o fator integrante:
Explicação:
e
. O valor absoluto aparece por causa do logaritmo; isso implica que devemos tratar separadamente os intervalos
e
(em cada um deles
e o fator integrante é contínuo).
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. O lado direito fica:
Como
(igual a
para
e
para
), obtemos a igualdade de derivada
Agora integramos em cada ramo onde
é constante.
Passo 5
Primeiro considere
. Então
e
Integramos:
onde
é constante arbitrária. Assim, para
,
Para
temos
e
Integrando,
Multiplicando por
,
com
também constante arbitrária. Portanto para
obtemos a mesma fórmula (com constante possivelmente renomeada):
Conclusão técnica: em ambos os ramos a solução geral pode ser escrita na mesma forma formal
desde que
e entendendo que
é uma constante arbitrária diferente em cada componente do domínio conectado.
Passo 6
Maior intervalo
onde a solução geral está definida: devemos escolher intervalos conexos que não contenham
. Assim os maiores intervalos em que a solução geral escrita acima vale são
Não existe uma solução geral contínua atravessando
porque o ponto
é singular (coeficiente de
nulo).
Passo 7
Identificação dos termos transientes: a solução geral é soma de uma solução particular e de uma solução homogênea.
A parte homogênea é
A parte homogênea é
Esse é o termo “transiente” (resposta livre). Comportamento:
- Para
, : o termo homogêneo decai e é de fato transiente no sentido que desaparece quando . - Para
, e tende a explodir (não decai), portanto na região não temos decaimento.
Assim há um termo transiente
; ele decai para
quando
(no ramo positivo) mas não decai no ramo negativo.
Resposta
Há termo transiente