Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução geral está definida.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
que é uma equação de primeira ordem e linear. Para resolvê-la, vamos reescrevê-la na forma padrão
identificar
e
, usar fator integrante e, por fim, determinar o maior intervalo
em que a solução está definida.
Passo 2
Dividindo ambos os lados por
(observando que
), obtemos
Note que
Passo 3
O fator integrante é
Fazendo a divisão do integrando:
logo
Portanto
Passo 4
Multiplicando a equação padrão por
, reconhecemos o lado esquerdo como derivada de produto:
O lado direito fica
Assim a equação torna-se
Passo 5
Integramos em
:
Para calcular
, usamos integrações por partes conhecidas e obtemos
Logo
onde
já absorve a constante de integração.
Passo 6
Isolando
:
Este é a solução geral, com constante arbitrária
.
Passo 7
O coeficiente
anula-se em
, que é ponto singular da equação. Logo a solução geral só faz sentido em intervalos que não contenham
. Os maiores intervalos de existência maximal são
Resposta
A solução geral é
definida em qualquer intervalo que não contenha
, por exemplo
(ou
).