Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.
(1+x) d yd x-x y=x+x^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
(1+x),dydx-x,y = x + x^2,
que é uma equação de primeira ordem e linear. Para resolvê-la, vamos reescrevê-la na forma padrão
dydx+p(x),y = q(x),
identificar p(x) e q(x), usar fator integrante e, por fim, determinar o maior intervalo I em que a solução está definida.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por 1+x (observando que xneq -1), obtemos
dydx - x1+x,y = x+x^21+x
Note que
p(x) = -x1+x, q(x) = x(1+x)1+x = x

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral p(x),dxr) = exp!l(-integral x1+x,dxr)
Fazendo a divisão do integrando:
x1+x = 1 - 11+x,
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integral x1+x,dx = integral l(1 - 11+xr)dx = x - lnlvert1+xrvert
Portanto
mu(x) = expl(-x + lnlvert1+xrvertr) = e^-x(1+x)

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=e^-x(1+x), reconhecemos o lado esquerdo como derivada de produto:
e^-x(1+x)dydx - e^-xx,y = ddxl[e^-x(1+x),yr]
O lado direito fica
e^-x(1+x),x = x(1+x)e^-x
Assim a equação torna-se
ddxl[e^-x(1+x),yr] = x(1+x)e^-x

Passo 5

Integramos em x:
e^-x(1+x),y = integral x(1+x)e^-x,dx + C
Para calcular
integral x(1+x)e^-x,dx = integral(x+x^2)e^-x,dx, usamos integrações por partes conhecidas e obtemos
integral(x+x^2)e^-x,dx = -l(x^2+3x+3r)e^-x + widetilde C
Logo
e^-x(1+x),y = -l(x^2+3x+3r)e^-x + C,
onde C já absorve a constante de integração.

Passo 6

Isolando y:
y(x) = -l(x^2+3x+3r)e^-x + Ce^-x(1+x) = C,e^x - (x^2+3x+3)1+x
Este é a solução geral, com constante arbitrária C.

Passo 7

O coeficiente 1+x anula-se em x=-1, que é ponto singular da equação. Logo a solução geral só faz sentido em intervalos que não contenham -1. Os maiores intervalos de existência maximal são
(-infty,-1) e (-1,infty)

Resposta

A solução geral é
y(x) = C,e^x - l(x^2 + 3x + 3r)1+x,
definida em qualquer intervalo que não contenha x=-1, por exemplo I = (-1,infty) (ou I = (-infty,-1)).

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