Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução geral está definida. Determine se há termos transientes na solução geral.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral de uma equação diferencial de primeira ordem linear
além do maior intervalo
onde essa solução está definida e de verificar se há termos transientes. Vamos usar o método do fator integrante para resolver a equação linear da forma
Passo 2
Primeiro escrevemos a equação no formato padrão dividindo por
(desde que
):
Aqui
Passo 3
O fator integrante é
Observe
logo
Podemos escolher a constante
, então
Passo 4
Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, ou seja
Integramos em relação a
:
onde usamos
.
Assim
Assim
Passo 5
A solução geral é
Note que precisamos de
. Portanto o maior intervalo de definição não pode conter
. Os dois intervalos máximos são
Passo 6
A solução se decompõe em parte particular
e parte homogênea
Esse termo homogêneo é o termo transiente. Ele pode decair ou crescer conforme o intervalo:
- Em
, quando , logo o termo transiente decai. - Em
, cresce sem limite quando , então não há decaimento.
Resposta
A solução geral é
definida em qualquer intervalo que não contenha
, por exemplo
ou
. Há um termo transiente dado por
.