Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida. Determine se há termos transientes na solução geral.
(1+x) \frac{d y}{d x}-x y=x+x^{2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de uma equação diferencial de primeira ordem linear
(1+x)\frac{dy}{dx}-xy = x + x^2,
além do maior intervalo I onde essa solução está definida e de verificar se há termos transientes. Vamos usar o método do fator integrante para resolver a equação linear da forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação no formato padrão dividindo por 1+x (desde que x\neq -1):
\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x}\,y = \frac{x+x^2}{1+x}.
Aqui
P(x) = -\frac{x}{1+x}, \quad Q(x) = \frac{x(1+x)}{1+x} = x.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(-\int \frac{x}{1+x}\,dx\Bigr).
Observe
\frac{x}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x},
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-\int \frac{x}{1+x}\,dx = -\int\Bigl(1 - \frac{1}{1+x}\Bigr)\,dx = -x + \ln\lvert1+x\rvert + C.
Podemos escolher a constante C=0, então
\mu(x) = e^{-x}\,(1+x).

Passo 4

Multiplicamos a equação por \mu(x):
e^{-x}(1+x)\frac{dy}{dx} - e^{-x}x\,y = x\,e^{-x}(1+x)\,.
O lado esquerdo é a derivada do produto y\,\mu(x), ou seja
\frac{d}{dx}\bigl[y\,e^{-x}(1+x)\bigr] = x\,e^{-x}.
Integramos em relação a x:
y\,e^{-x}(1+x) = \int x\,e^{-x}\,dx + C = - (x+1)e^{-x} + C,
onde usamos \int x e^{-x}dx = - (x+1)e^{-x}.
Assim
y\,e^{-x}(1+x) = - (x+1)e^{-x} + C \quad\Longrightarrow\quad y = -1 + C\,\frac{e^{x}}{1+x}.

Passo 5

A solução geral é
y(x) = C\,\frac{e^{x}}{1+x} - 1.
Note que precisamos de 1+x\neq0. Portanto o maior intervalo de definição não pode conter x=-1. Os dois intervalos máximos são
I_1=(-\infty, -1) \quad\text{ou}\quad I_2=(-1, +\infty).

Passo 6

A solução se decompõe em parte particular -1 e parte homogênea
y_h(x) = C\,\frac{e^{x}}{1+x}.
Esse termo homogêneo é o termo transiente. Ele pode decair ou crescer conforme o intervalo:
  • Em (-\infty,-1), \frac{e^{x}}{1+x}\to0 quando x\to-\infty, logo o termo transiente decai.
  • Em (-1,\infty), \frac{e^{x}}{1+x} cresce sem limite quando x\to+\infty, então não há decaimento.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C\,\frac{e^{x}}{1+x} - 1,
definida em qualquer intervalo que não contenha x=-1, por exemplo I=(-\infty,-1) ou I=(-1,\infty). Há um termo transiente dado por C\,e^{x}/(1+x).

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