Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução geral está definida. Determine se há termos transientes na solução geral.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
e o maior intervalo
onde essa solução existe, além de verificar se aparecem termos transientes.
Conteúdo: equação diferencial linear de 1ª ordem. Vamos usar o método do fator integrante.
Conteúdo: equação diferencial linear de 1ª ordem. Vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Colocamos em forma padrão
Aqui o coeficiente de
ficou 1 e o coeficiente de
é
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
, obtendo
Então integramos em
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Isolando
, vem
Essa é a solução geral da equação.
Passo 6
Para a equação original aparece
, portanto não podemos ter
.
O maior intervalo de existência da solução geral é qualquer intervalo onde , isto é
O maior intervalo de existência da solução geral é qualquer intervalo onde
Passo 7
Os termos transientes são aqueles da solução homogênea
que decaem (no caso
) e desaparecem ao longo do tempo. O termo particular também decai, pois
. Logo, o único “transiente” que aparece é o da parte homogênea.
Resposta
A solução geral é
definida em
ou
.
Há termo transiente dado por .
Há termo transiente dado por