Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida. Determine se há termos transientes na solução geral.
x y^{\prime}+(1+x) y=e^{-x} \operatorname{sen} 2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
x\,y'(x)+(1+x)\,y(x)=e^{-x}\operatorname{sen}(2x)
e o maior intervalo I onde essa solução existe, além de verificar se aparecem termos transientes.
Conteúdo: equação diferencial linear de 1ª ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão
y'(x)+\frac{1+x}{x}\,y(x)=\frac{e^{-x}}{x}\operatorname{sen}(2x).
Aqui o coeficiente de y' ficou 1 e o coeficiente de y é \frac{1+x}{x}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\Bigl(\int\frac{1+x}{x}\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int\bigl(\tfrac1x+1\bigr)\,dx\Bigr) =\exp\bigl(\ln|x|+x\bigr) =x\,e^{x}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=x e^x, obtendo
x e^x\,y'(x)+(1+x)e^x\,y(x) =\bigl(x e^x y(x)\bigr)' = x e^x\cdot\frac{e^{-x}}{x}\operatorname{sen}(2x) =\operatorname{sen}(2x).
Então integramos em x:
x e^x y(x)=\int \operatorname{sen}(2x)\,dx =-\frac{1}{2}\cos(2x)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y(x), vem
y(x) =\frac{-\tfrac12\cos(2x)+C}{x\,e^x} =-\frac{\cos(2x)}{2\,x\,e^x}+\frac{C}{x\,e^x}.
Essa é a solução geral da equação.

Passo 6

Para a equação original aparece \tfrac{1+x}{x}, portanto não podemos ter x=0.
O maior intervalo de existência da solução geral é qualquer intervalo onde x\neq0, isto é
I=(0,\infty)\quad\text{ou}\quad I=(-\infty,0).

Passo 7

Os termos transientes são aqueles da solução homogênea
y_h(x)=\frac{C}{x\,e^x},
que decaem (no caso x\to+\infty) e desaparecem ao longo do tempo. O termo particular também decai, pois \cos(2x)/(x\,e^x)\to0. Logo, o único “transiente” que aparece é o da parte homogênea.

Resposta

A solução geral é
y(x)=-\frac{\cos(2x)}{2\,x\,e^x}+\frac{C}{x\,e^x},
definida em I=(0,\infty) ou I=(-\infty,0).
Há termo transiente dado por y_h(x)=C/(x\,e^x).

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