Calcule:
(1+i)^{i}

Passo 1

O enunciado pede calcular (1+i)^{i}. Aqui o conteúdo é exponenciação de número complexo, e vamos usar a definição
a^{b} = \exp\bigl(b\,\Log(a)\bigr)
onde \Log é o logaritmo principal de um complexo. Para isso precisamos expressar 1+i em forma polar e achar \Log(1+i).

Passo 2

Calcular a magnitude e o argumento de 1+i.
A magnitude é
|1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2},
e o argumento principal é
\arg(1+i) = \frac{\pi}{4}.
Logo
\Log(1+i) = \ln|1+i| + i\,\arg(1+i) = \frac{1}{2}\ln 2 + i\,\frac{\pi}{4}.

Passo 3

Multiplicar \Log(1+i) pelo expoente i:
i\,\Log(1+i) = i\Bigl(\tfrac{1}{2}\ln2 + i\tfrac{\pi}{4}\Bigr) = i\tfrac{1}{2}\ln2 + i^2\tfrac{\pi}{4} = -\tfrac{\pi}{4} + i\,\tfrac{1}{2}\ln2.

Passo 4

Aplicar a exponencial para obter (1+i)^{i}:
(1+i)^{i} = \exp\bigl(i\,\Log(1+i)\bigr) = \exp\Bigl(-\tfrac{\pi}{4} + i\,\tfrac{1}{2}\ln2\Bigr) = \exp\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)\,\exp\bigl(i\tfrac{1}{2}\ln2\bigr).
Em forma retangular isso fica
(1+i)^{i} = \exp\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)\bigl[\cos\bigl(\tfrac{1}{2}\ln2\bigr) + i\,\sin\bigl(\tfrac{1}{2}\ln2\bigr)\bigr].

Resposta

(1+i)^{i} = \exp\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)\,\exp\bigl(i\,\tfrac{1}{2}\ln2\bigr) = \exp\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)\bigl[\cos\bigl(\tfrac{1}{2}\ln2\bigr) + i\,\sin\bigl(\tfrac{1}{2}\ln2\bigr)\bigr].

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