Mostre que: (4pts)
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para qualquer
com
, vale
O conteúdo envolvido é a análise da função cosseno no domínio complexo e o cálculo de módulo de número complexo. Vamos precisar usar a expressão de
em termos de funções hiperbólicas.
Passo 2
Recordando a fórmula de Euler estendida ao complexo, temos
Agrupando reais e imaginários, chega-se ao resultado padrão:
Passo 3
Agora, o quadrado do módulo de
é
Distribuindo, isso dá
Passo 4
Como
, podemos escrever
E, usando
, obtemos
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (e lembrando que módulo é não-negativo) segue
Resposta
Assim, mostramos que para todo
vale