Mostre que: (4pts)
|\cos (z)| \geq |\cos (x)|, onde z=x+i y.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para qualquer z = x + i y com x,y \in \mathbb{R}, vale
|\cos(z)| \;\ge\; |\cos(x)|.
O conteúdo envolvido é a análise da função cosseno no domínio complexo e o cálculo de módulo de número complexo. Vamos precisar usar a expressão de \cos(x+iy) em termos de funções hiperbólicas.

Passo 2

Recordando a fórmula de Euler estendida ao complexo, temos
\cos(x + i y) = \tfrac{1}{2}\bigl(e^{i(x+iy)} + e^{-i(x+iy)}\bigr) = \tfrac{1}{2}\bigl(e^{ix-y} + e^{-ix+y}\bigr).
Agrupando reais e imaginários, chega-se ao resultado padrão:
\cos(x+iy) = \cos(x)\,\operatorname{cosh}(y)\;-\;i\,\sin(x)\,\operatorname{sinh}(y).

Passo 3

Agora, o quadrado do módulo de \cos(x+iy) é
|\cos(x+iy)|^2 = \bigl(\cos(x)\operatorname{cosh}(y)\bigr)^2 + \bigl(\sin(x)\operatorname{sinh}(y)\bigr)^2.
Distribuindo, isso dá
|\cos(x+iy)|^2 = \cos^2(x)\,\operatorname{cosh}^2(y) \;+\; \sin^2(x)\,\operatorname{sinh}^2(y).

Passo 4

Como \operatorname{cosh}^2(y) = 1 + \operatorname{sinh}^2(y), podemos escrever
|\cos(x+iy)|^2 = \cos^2(x)\bigl(1 + \operatorname{sinh}^2(y)\bigr) + \sin^2(x)\,\operatorname{sinh}^2(y) = \cos^2(x) + \operatorname{sinh}^2(y)\bigl(\cos^2(x)+\sin^2(x)\bigr).
E, usando \cos^2(x)+\sin^2(x)=1, obtemos
|\cos(x+iy)|^2 = \cos^2(x) + \operatorname{sinh}^2(y) \;\ge\; \cos^2(x).
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (e lembrando que módulo é não-negativo) segue
|\cos(x+iy)| \;\ge\; |\cos(x)|.

Resposta

Assim, mostramos que para todo z = x + i y vale
|\cos(z)| \;\ge\; |\cos(x)|.

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