Draw a contour map of the function showing several level curves.
f(x, y)=y /\left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o mapa de contorno (níveis de nível) da função
f(x,y)=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Ou seja, para cada constante k vamos traçar a curva
\frac{y}{x^{2}+y^{2}}=k.
Para resolver isso, precisaremos reescrever essa igualdade na forma de uma curva geométrica conhecida.

Passo 2

Partindo de
\frac{y}{x^{2}+y^{2}}=k,
multiplicamos por x^{2}+y^{2} para obter
y = k\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)
e rearranjamos em
k\,x^{2} + k\,y^{2} - y = 0.

Passo 3

Para reconhecer um círculo, completamos o quadrado em y. Dividimos por k (assumindo k\neq0):
x^{2} + y^{2} - \frac{1}{k}\,y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + \Bigl(y - \tfrac{1}{2k}\Bigr)^{2} = \Bigl(\tfrac{1}{2k}\Bigr)^{2}.
Logo, para cada k\neq0 o nível f(x,y)=k é o círculo de centro
\bigl(0,\;1/(2k)\bigr)
e raio
\bigl|\,1/(2k)\bigr|.

Passo 4

  • Se k>0, o centro está acima da origem no eixo y e o círculo passa por (0,0). Conforme k aumenta, o círculo fica menor e mais próximo da origem.
  • Se k<0, ocorre o mesmo de forma simétrica em relação ao eixo x, com centros abaixo.
  • Se k=0, retorna a reta y=0 (eixo x), pois de \frac{y}{x^2+y^2}=0temos y=0 (exceto a origem, que não está no domínio).

Passo 5

Alguns contornos típicos:
  • k=1: centro (0,\,\tfrac12), raio \tfrac12.
  • k=\tfrac12: centro (0,\,1), raio 1.
  • k=2: centro (0,\,\tfrac14), raio \tfrac14.
  • k=-1, -\tfrac12, -2: mesmos valores em módulo, mas invertidos para baixo.
  • k=0: o próprio eixo y=0.

Resposta

O mapa de contorno consiste em uma família de círculos
x^{2} + \Bigl(y - \tfrac{1}{2k}\Bigr)^{2} = \Bigl(\tfrac{1}{2k}\Bigr)^{2},
todos tangentes à origem e com centros em (0,1/(2k)), para vários k\neq0, mais a reta y=0 para k=0.

Exercícios relacionados