Draw a contour map of the function showing several level curves.
Passo 1
O enunciado pede o mapa de contorno (níveis de nível) da função
Ou seja, para cada constante
vamos traçar a curva
Para resolver isso, precisaremos reescrever essa igualdade na forma de uma curva geométrica conhecida.
Passo 2
Partindo de
multiplicamos por
para obter
e rearranjamos em
Passo 3
Para reconhecer um círculo, completamos o quadrado em
. Dividimos por
(assumindo
):
Logo, para cada
o nível
é o círculo de centro
e raio
Passo 4
- Se
, o centro está acima da origem no eixo e o círculo passa por . Conforme aumenta, o círculo fica menor e mais próximo da origem. - Se
, ocorre o mesmo de forma simétrica em relação ao eixo , com centros abaixo. - Se
, retorna a reta (eixo ), pois de temos (exceto a origem, que não está no domínio).
Passo 5
Alguns contornos típicos:
-
: centro , raio . -
: centro , raio . -
: centro , raio . -
, , : mesmos valores em módulo, mas invertidos para baixo. -
: o próprio eixo .
Resposta
O mapa de contorno consiste em uma família de círculos
todos tangentes à origem e com centros em
, para vários
, mais a reta
para
.