A thin metal plate, located in the
-plane, has temperature
at the point
. The level curves of
are called isothermals because at all points on an isothermal the temperature is the same. Sketch some isothermals if the temperature function is given by
Passo 1
O enunciado dá a temperatura de uma placa metálica no plano
por
e pede para desenhar algumas isotermais, isto é, as curvas de nível de
. Para isso vamos usar o conceito de curva de nível de uma função escalar de duas variáveis, consistente em resolver
para vários valores fixos de
e reconhecer a forma geométrica dessas curvas.
Passo 2
Começamos impondo
Invertendo ambos os lados, obtemos
Passo 3
A equação
com
, pode ser colocada na forma padrão de elipse dividindo tudo por
:
Logo cada isoterma é uma elipse centrada na origem, de semi-eixo em
igual a
e semi-eixo em
igual a
.
Passo 4
Para visualizar, escolhemos alguns valores típicos de
(temperatura) e achamos
:
– ;
;
, isoterma
.
– ;
;
, isoterma
, ou
.
– ;
;
, isoterma
, ou
.
Cada uma dessas elipses é maior à medida que diminui, mostrando contornos de temperatura decrescente.
–
–
–
Cada uma dessas elipses é maior à medida que
Resposta
As isotermais de
são elipses dadas por
para vários
. Exemplos:
;
;
.