A thin metal plate, located in the x y-plane, has temperature T(x, y) at the point (x, y). The level curves of T are called isothermals because at all points on an isothermal the temperature is the same. Sketch some isothermals if the temperature function is given by
T(x, y)=100 /\left(1+x^{2}+2 y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a temperatura de uma placa metálica no plano xy por
T(x,y)=\frac{100}{1+x^2+2y^2},
e pede para desenhar algumas isotermais, isto é, as curvas de nível de T. Para isso vamos usar o conceito de curva de nível de uma função escalar de duas variáveis, consistente em resolver
T(x,y)=k
para vários valores fixos de k e reconhecer a forma geométrica dessas curvas.

Passo 2

Começamos impondo
T(x,y)=k \quad\Longrightarrow\quad \frac{100}{1+x^2+2y^2}=k.
Invertendo ambos os lados, obtemos
1+x^2+2y^2=\frac{100}{k} \quad\Longrightarrow\quad x^2+2y^2=\frac{100}{k}-1.

Passo 3

A equação
x^2+2y^2=C,
com C=\frac{100}{k}-1>0, pode ser colocada na forma padrão de elipse dividindo tudo por C:
\frac{x^2}{C}+\frac{y^2}{C/2}=1.
Logo cada isoterma é uma elipse centrada na origem, de semi-eixo em x igual a \sqrt{C} e semi-eixo em y igual a \sqrt{C/2}.

Passo 4

Para visualizar, escolhemos alguns valores típicos de k (temperatura) e achamos C=\frac{100}{k}-1:
k=50; \Rightarrow; C=2-1=1, isoterma \;x^2+2y^2=1.
k=20; \Rightarrow; C=5-1=4, isoterma \;x^2+2y^2=4, ou \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1.
k=10; \Rightarrow; C=10-1=9, isoterma \;x^2+2y^2=9, ou \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4.5}=1.
Cada uma dessas elipses é maior à medida que k diminui, mostrando contornos de temperatura decrescente.

Resposta

As isotermais de
T(x,y)=\frac{100}{1+x^2+2y^2}
são elipses dadas por
x^2+2y^2=\frac{100}{k}-1,
para vários k\in(0,100]. Exemplos:
k=50\colon x^2+2y^2=1;
k=20\colon x^2+2y^2=4;
k=10\colon x^2+2y^2=9.

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