Ache a solução geral da equação diferencial dada.
(x+1) d yd x+(x+2) y=2 x e^-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
(x+1),dydx + (x+2),y = 2x,e^-x
Trata-se de uma equação linear no formato (x+1),y' + (x+2),y = f(x). Para resolver, vamos colocar na forma padrão y' + p(x),y = q(x) e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por (x+1) (supondo xneq -1), obtemos a forma padrão:
dydx + x+2x+1,y = 2xx+1,e^-x
Aqui p(x)=x+2x+1 e q(x)=2xx+1e^-x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = exp!l(integral p(x),dxr) = exp!l(integral l(1 + 1x+1r),dxr) = expl(x + ln|x+1|r) = e^x,|x+1|
Para xneq -1 podemos tomar mu(x)=e^x,(x+1) (absorvendo o sinal no C depois).

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=e^x(x+1), o lado esquerdo vira derivada:
ddxl[e^x,(x+1),yr] = e^x,(x+1),dydx + l(e^x + x,e^xr)y
e o lado direito fica
e^x(x+1),2xx+1,e^-x = 2x
Logo
ddxl[e^x(x+1)yr] = 2x

Passo 5

Integramos em x:
e^x,(x+1),y = integral 2x,dx = x^2 + C,
onde C é constante arbitrária. Assim
y(x) = x^2 + Ce^x,(x+1)

Resposta

A solução geral é
y(x) = x^2 + Ce^x,(x+1),
com C constante de integração e xneq -1.

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