Esta questão se dedica ao cálculo da derivada primeira de cada uma das funções listadas abaixo utilizando-se das 5 derivadas conhecidas, da linearidade da derivada, da regra do produto e da regra da cadeia.
dd x(sen(x) cos (x)),

Passo 1

O enunciado pede a derivada de sin(x)cos(x). O conteúdo é cálculo de derivada usando as regras básicas: derivada de sin(x), derivada de cos(x), linearidade, regra do produto e, se necessário, regra da cadeia.

Passo 2

Identificamos duas funções:
f(x)=sin(x), g(x)=cos(x)
Para derivar o produto f(x),g(x), usamos a regra do produto:
ddxl(f(x)g(x)r) =f'(x),g(x)+f(x),g'(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas individuais:
f'(x)=ddxsin(x)=cos(x), g'(x)=ddxcos(x)=-sin(x)

Passo 4

Substituindo na regra do produto:
ddxl(sin(x)cos(x)r) =cos(x),cos(x)+sin(x),l(-sin(x)r) =cos^2(x)-sin^2(x)

Passo 5

Opcionalmente, reconhecemos a identidade trigonométrica
cos^2(x)-sin^2(x)=cos(2x),
mas a forma cos^2(x)-sin^2(x) já é a resposta direta da derivada.

Resposta

ddxl(sin(x)cos(x)r) =cos^2(x)-sin^2(x)

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