Encontre uma solução explícita para o problema de valor inicial dado.
L d id t+R i=E, i(0)=i0 (L, R, E, i0 constantes ) i=ER+(i0-ER) e^-R tL

Passo 1

Temos o problema de valor inicial dado pela equação diferencial de primeira ordem linear
L ,didt + R,i = E,
com a condição inicial i(0)=i0. O conteúdo aqui é a solução de EDO linear usando fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por L:
didt + RL,i = EL

Passo 3

O fator integrante mu(t) é
mu(t) = expl(integral RL,dtr) = expl(RL,tr)

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(t), o lado esquerdo torna-se derivada de produto, pois
mu'(t)=tfracRL,mu(t). Logo
mu(t),didt + RL,mu(t),i = ddtl(i,mu(t)r)
e a equação fica
ddtl(i,mu(t)r) = EL,mu(t)

Passo 5

Integramos ambos os lados em t:
i(t),mu(t) = ELintegral e^RLt,dt + C = ELcdotLR,e^RLt + C = ER,e^RLt + C
Dividindo por mu(t)=e^RLt, obtemos
i(t) = ER + C,e^-RLt
Para achar C, usamos i(0)=i0:
i0 = ER + C Longrightarrow C = i0 - ER

Resposta

i(t) = ER + l(i0 - ERr),e^-RLt

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