Ache a solução geral das seguintes equações homogêneas
d yd x=y x^2-x y^2x^3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea
dydx=y x^2-x y^2x^3
Vamos usar técnicas de EDO homogênea e separação de variáveis após a substituição v=y/x.

Passo 2

Primeiro simplificamos o lado direito em função de y e x:
y x^2-x y^2x^3 =x^2yx^3-x y^2x^3 =yx-y^2x^2
Logo a EDO fica
dydx =yx-y^2x^2

Passo 3

Fazemos a substituição v = yx, isto é, y = x,v. Derivando ambos os lados em relação a x
dydx =v + xdvdx

Passo 4

Substituindo em dydx=yx-y^2x^2 obtemos
v + xdvdx = v - v^2
Cancelando v dos dois lados resulta
xdvdx = -v^2,
que é uma EDO separável.

Passo 5

Separamos variáveis e integramos:
dvv^2 = -dxx Longrightarrow integral dvv^2 = integral -dxx
Isso leva a
-1v = -lnlvert xrvert + C1 Longrightarrow 1v = lnlvert xrvert + C,
onde C=-C1 é constante arbitrária.

Passo 6

Voltando à variável original, v=y/x, temos
xy = lnlvert xrvert + C Longrightarrow y = xlnlvert xrvert + C

Resposta

A solução geral é
y(x) = xlnlvert xrvert + C,
onde C é constante de integração.

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