Ache a solução geral das seguintes equações homogêneas
d yd x=x^3+y^3x y^2

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial de primeira ordem
dydx = x^3 + y^3x,y^2
Como o lado direito é uma função homogênea de grau zero em x e y, isto é, só depende de y/x, vamos usar a substituição
y = u,x,
onde u é função de x.

Passo 2

Com y = u,x temos
dydx = u + x,dudx
No lado direito, substituindo y = u,x em x^3+y^3x,y^2
x^3 + (u,x)^3x,(u,x)^2 = x^3(1+u^3)x,x^2u^2 = 1+u^3u^2
Logo a equação fica
u + x,dudx = 1+u^3u^2

Passo 3

Isolamos o termo com du/dx:
x,dudx = 1+u^3u^2 - u = 1+u^3 - u^3u^2 = 1u^2

Passo 4

Esta é uma equação de variáveis separáveis. Escrevemos
u^2,du = dxx
e integramos ambos os lados:
integral u^2,du = integral dxx Longrightarrow u^33 = lnlvert xrvert + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Multiplicando por 3 e definindo K=3C, obtemos
u^3 = 3,lnlvert xrvert + K
Voltando à variável original, u = y/x, segue
l(yxr)^3 = 3,lnlvert xrvert + K

Passo 6

Por fim, isolamos y:
y = x;l(3,lnlvert xrvert + Kr)^!1/3

Resposta

A solução geral é
y(x) ;=; x;l(3,lnlvert xrvert + Kr)^!1/3,
com K constante de integração.

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