Determine se as seqüências convergem ou divergem, em caso de convergência calcule o limite:
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede: “Determine se a sequência
converge ou diverge; se convergir, ache o limite.”
Isso é um problema de análise de sequência e limite no infinito. Para resolver, a ideia principal é usar álgebra de limites e saber que, quando , expressões do tipo
viram zero.
Isso é um problema de análise de sequência e limite no infinito. Para resolver, a ideia principal é usar álgebra de limites e saber que, quando
Passo 2
Primeiro, escrevemos nossa sequência explicando cada parte:
Convergir significa que, conforme
cresce sem parar,
vai ficando cada vez mais perto de um número fixo
. Se esse
existe (e é finito), dizemos que a sequência converge para
.
Passo 3
A técnica mais simples é “fatorar”
de numerador e denominador. Assim:
Aqui a gente dividiu tudo por
. Isso ajuda porque sabemos o comportamento de
quando
vira gigante.
Passo 4
Agora, olha o que acontece quando
:
então
Isso mostra que
fica cada vez mais perto de
. Logo, a sequência converge.
Resposta
A sequência converge e seu limite é
.