Determine se as seqüências convergem ou divergem, em caso de convergência calcule o limite:
n2 n+1

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede: “Determine se a sequência
an = n2n+1
converge ou diverge; se convergir, ache o limite.”
Isso é um problema de análise de sequência e limite no infinito. Para resolver, a ideia principal é usar álgebra de limites e saber que, quando ntoinfty, expressões do tipo 1n viram zero.

Passo 2

Primeiro, escrevemos nossa sequência explicando cada parte:
an = n2n+1
Convergir significa que, conforme n cresce sem parar, an vai ficando cada vez mais perto de um número fixo L. Se esse L existe (e é finito), dizemos que a sequência converge para L.

Passo 3

A técnica mais simples é “fatorar” n de numerador e denominador. Assim:
an ;=; n2n+1 ;=;n/n(2n+1)/n ;=;12 + tfrac1n
Aqui a gente dividiu tudo por n. Isso ajuda porque sabemos o comportamento de tfrac1n quando n vira gigante.

Passo 4

Agora, olha o que acontece quando ntoinfty:
1n ;longrightarrow; 0,
então
2 + tfrac1n ;longrightarrow; 2 Longrightarrow 12 + tfrac1n ;longrightarrow; 12
Isso mostra que an fica cada vez mais perto de tfrac12. Logo, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 12.

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