Encontre a solução do problema de valor inicial dado
t y^prime+2 y=sen t, y(pi / 2)=0, t>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
t,y'+2,y=sin t,
com a condição inicial y(pi/2)=0 e t>0. Vamos usar o método do fator integrante para equações da forma
y'+P(t),y=Q(t)

Passo 2

Colocamos a equação no formato padrão dividindo por t:
y'+2t,y=sin tt
Aqui P(t)=2/t e Q(t)=sin t/t.

Passo 3

O fator integrante é
mu(t)=expl(integral P(t),dtr)=expl(integral 2t,dtr)=t^2
Multiplicando a equação por mu(t)=t^2 obtemos
t^2y'+2t,y=;t^2sin ttLongrightarrowddtl(t^2yr)=tsin t

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
t^2y=integral tsin t,dt
Fazendo integração por partes com u=t, dv=sin t,dt
integral tsin t,dt=-tcos t+sin t+C
Logo
t^2y=-tcos t+sin t+C

Passo 5

Isolamos y:
y(t)=-tcos t+sin t+Ct^2
Aplicando a condição y(pi/2)=0:
0=-(pi/2)cos(pi/2)+sin(pi/2)+C(pi/2)^2 =0+1+Cpi^2/4 ;Longrightarrow;C=-1

Resposta

y(t)=sin t - tcos t -1t^2

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