Ache a solução particular da equação homogênea
d yd x=yx-cossec(yx)
com y(1)=pi / 2 e determine o maior intervalo de definição dessa solução particular.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial homogênea
dydx = yx - csc!gl(yxgr),
com condição inicial y(1)=pi/2. Vamos usar a teoria de equações homogêneas: fazemos a substituição
v = yx,logo y = v,x

Passo 2

Calculamos dy/dx em termos de v e x:
dydx = v + xdvdx
Substituindo na equação original,
v + xdvdx = v - csc(v) Longrightarrow xdvdx = -csc(v)

Passo 3

Separamos variáveis:
dvcsc(v) = -dxx Long<=ftrightarrow sin(v),dv = -dxx
Agora integramos dos dois lados:
integral sin(v),dv = -integral dxx Longrightarrow -cos(v) = -lnlvert xrvert + C

Passo 4

Rearranjando a constante, obtemos a solução implícita geral:
cos(v) = lnlvert xrvert + C'
Como v=y/x, fica
cos!l(tfracyxr) = lnlvert xrvert + C'

Passo 5

Impondo y(1)=pi/2 temos tfracy(1)1=pi/2 e ln|1|=0, logo
cos!l(tfracpi2r)=0 = 0 + C'Longrightarrow C'=0
Portanto a solução particular é
cos!l(tfracyxr) = lnlvert xrvert

Passo 6

Para explicitar y, tomamos arco cosseno no principal:
yx = arccos!l(lnlvert xrvertr) Longrightarrow y = x,arccos!l(lnlvert xrvertr)

Passo 7

O domínio vem de arccos definido quando lnlvert xrvertin[-1,1], isto é
-1 <= lnlvert xrvert <= 1 Long<=ftrightarrow e^-1 <= lvert xrvert <= e
Como a condição inicial está em x=1>0, consideramos x>0 e obtemos
e^-1 <= x <= e
Porém nos pontos extremos ln x=pm1 tem arccos(pm1)=0,pi e então csc(v) fica singular, inviabilizando extensão da solução. Logo o maior intervalo de definição é aberto:
boxedxinl(e^-1,,er)

Resposta

y(x) = x,arccos!l(ln xr), xinl(e^-1,,er)

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