Ache a solução geral para as seguintes equações de ordem mais alta.
(a) y^prime prime prime-y^prime prime+y^prime+3 y=0
(b) y^prime prime prime+2 y^prime prime+5 y^prime-26 y=0
(c) y^ iv +13 y^prime prime+36 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de três equações lineares homogêneas de coeficientes constantes de ordem superior. A técnica padrão é assumir y=e^rx, obter a equação característica em r, encontrar suas raízes (reais ou complexas) e montar a solução geral como combinação linear de e^rx ou, no caso de raízes complexas apm i b, de e^axcos(bx) e e^axsin(bx).

Passo 2

Para (a) fazemos y=e^rx e achamos a equação característica:
r^3 - r^2 + r + 3 = 0
Testando r=-1 vemos que ele zera o polinômio, logo
r^3 - r^2 + r + 3 = (r+1)(r^2 - 2r + 3)
As raízes de r^2 - 2r + 3=0 são
r = 1 pm iraiz2
Portanto a solução geral é
y(x) = C1 e^-x ;+; e^xl(C2cos(raiz2x)+C3sin(raiz2x)r)

Passo 3

Para (b) a equação característica é
r^3 + 2r^2 + 5r - 26 = 0
Testando r=2 obtemos zero, então
r^3 + 2r^2 + 5r - 26 = (r-2)(r^2 + 4r + 13)
As raízes de r^2 + 4r + 13=0 são
r = -2 pm 3i
Isso dá a solução geral
y(x) = C1 e^2x ;+; e^-2xl(C2cos(3x)+C3sin(3x)r)

Passo 4

Para (c) a equação característica é
r^4 + 13r^2 + 36 = 0
Fazendo t=r^2 temos
t^2 + 13t + 36 = (t+4)(t+9)=0,
logo t=-4,-9 e r=pm2i,pm3i. Assim
y(x) = C1cos(2x)+C2sin(2x)+C3cos(3x)+C4sin(3x)

Resposta

(a) y(x) = C1 e^-x + e^xl(C2cos(raiz2x)+C3sin(raiz2x)r)
(b) y(x) = C1 e^2x + e^-2xl(C2cos(3x)+C3sin(3x)r)
(c) y(x) = C1cos(2x)+C2sin(2x)+C3cos(3x)+C4sin(3x)

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