Resolva o problema de valor inicial dado:
;
,
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
e
. O conteúdo aqui é resolver ODEs usando a equação característica e depois ajustar as constantes para atender as condições iniciais.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada à ODE:
Resolvendo, obtemos as raízes complexas conjugadas
Para raízes
, a solução geral é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Calculamos a derivada de
para usar a condição inicial em
:
Passo 4
Aplicamos as condições iniciais:
- Em
:
portanto
.
- Em
:
logo
.
Passo 5
Substituindo
e
em
, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais: