Resolva o problema de valor inicial dado: y^prime prime+9 y=0; y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 9y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. O conteúdo aqui é resolver ODEs usando a equação característica e depois ajustar as constantes para atender as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à ODE:
r^2 + 9 = 0
Resolvendo, obtemos as raízes complexas conjugadas
r = pm 3i
Para raízes 0pm 3i, a solução geral é
y(x) = Acos(3x) + Bsin(3x),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Calculamos a derivada de y(x) para usar a condição inicial em y'(0):
y'(x) = -3Asin(3x) + 3Bcos(3x)

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais:
  1. Em x=0:
y(0) = Acos(0) + Bsin(0) = A = 1
portanto A = 1.
  1. Em x=0:
y'(0) = -3Asin(0) + 3Bcos(0) = 3B = 1
logo B = tfrac13.

Passo 5

Substituindo A e B em y(x), obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x) = cos(3x) + tfrac13,sin(3x)

Resposta

y(x) = cos(3x) + 13sin(3x)

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