Ache a solução geral do sistema dado.

Passo 1

Temos o sistema linear homogêneo de EDOs de primeira ordem
X' = A,X, A = 2 & 4 -1 & 6,
com condição inicial X(0)=binom-16. O conteúdo envolvido é resolução de sistemas lineares constantes por autovalores, autovetores e vetores generalizados.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det2-lambda & 4 -1 & 6-lambda = (2-lambda)(6-lambda) - (4)(-1) = lambda^2 - 8lambda + 16 = (lambda - 4)^2
Logo o único autovalor é lambda=4 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Encontramos os autovetores resolvendo :
Tomando , um autovetor é
A dimensão do espaço próprio é 1, menor que a multiplicidade algébrica.

Passo 4

Como faltou um autovetor, buscamos um vetor generalizado tal que . Escrevemos
Da primeira linha temos . Escolhendo , obtemos
que satisfaz .

Passo 5

A solução geral do sistema é
X(t) = e^4tl(C1,v + C2,(t,v + w)r) = e^4tl(C121 + C2l(t21 +-10r)r),
com constantes C1,C2inR.

Passo 6

Impondo X(0)=(-1,6)^T
X(0)=C121 + C2-10 =-16
Isto gera o sistema
2C1 - C2 = -1, C1 = 6 ;Longrightarrow; C1=6,; C2=13

Resposta

A solução que satisfaz a condição inicial é
X(t) = e^4t 26,t - 1 13,t + 6

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