Ache a solução geral do sistema dado.
X^prime=(rrr 2 & 5 & 1 -5 & -6 & 4 0 & 0 & 2 ) X

Passo 1

Resumo do enunciado e estratégia.
O sistema é
X' = A,X, A = 2 & 5 & 1 -5 & -6 & 4 0 & 0 & 2 ,
onde X(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))^top.
Como A é triangular por blocos, primeiro achamos os autovalores (bloco 2times2 e escalar), depois resolvemos a equação escalar para x3, e finalmente usamos variação de constantes para o subsistema ,(x1,x2).

Passo 2

Cálculo dos autovalores de A.
chi(lambda) =det(A-lambda I) =det 2-lambda & 5 & 1 -5 & -6-lambda & 4 0 & 0 & 2-lambda =det 2-lambda & 5 -5 & -6-lambda ,(2-lambda)
Para o bloco 2times2 temos
det 2-lambda & 5 -5 & -6-lambda =(2-lambda)(-6-lambda)+25 =lambda^2+4lambda+13
Logo
chi(lambda)=(lambda^2+4lambda+13)(2-lambda)
e os autovalores são
lambda1,2=-2pm3i, lambda3=2

Passo 3

Resolução da equação escalar para x3.
A terceira linha do sistema dá
x3' = 2,x3,
cuja solução geral é
x3(t)=C3,e^2t,
onde C3 é constante arbitrária.

Passo 4

Escrevendo o subsistema para x=(x1,x2)^top.
As duas primeiras equações formam
x' = M,x ;+;v,x3,
com
M=2&5-5&-6, v=14, x3(t)=C3e^2t

Passo 5

Variação de constantes: procuramos uma solução particular da forma
Aqui
Resolvendo
temos .
Portanto

Passo 6

Solução homogênea do subsistema .
O bloco tem traço e determinante , com autovalores . Usa-se a fórmula
pois verifica-se . Logo a solução geral homogênea é
com constantes.

Passo 7

Montagem da solução geral do sistema.
Em componentes, escrevendo , temos

Resposta

A solução geral é
x1(t) =e^-2tl[C1cos(3t)+tfrac4C1+5C23sin(3t)r] +tfrac2825C3,e^2t,
x2(t) =e^-2tl[C2cos(3t)+tfrac-5C1-4C23sin(3t)r] -tfrac15C3,e^2t,
x3(t)=C3,e^2t,
com C1,C2,C3 constantes arbitrárias.

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