Ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
Resumo do enunciado e estratégia.
O sistema é
O sistema é
onde
X(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))^top .
ComoA é triangular por blocos, primeiro achamos os autovalores (bloco
2times2 e escalar), depois resolvemos a equação escalar para
x3 , e finalmente usamos variação de constantes para o subsistema
,(x1,x2) .
Como
Passo 2
Cálculo dos autovalores de
A .
Para o bloco
2times2 temos
Logo
e os autovalores são
Passo 3
Resolução da equação escalar para
x3 .
A terceira linha do sistema dá
A terceira linha do sistema dá
cuja solução geral é
onde
C3 é constante arbitrária.
Passo 4
Escrevendo o subsistema para
x=(x1,x2)^top .
As duas primeiras equações formam
As duas primeiras equações formam
com
Passo 5
Variação de constantes: procuramos uma solução particular da forma
Aqui
Resolvendo
temos .
Portanto
Passo 6
Solução homogênea do subsistema
.
O bloco tem traço
e determinante
, com autovalores
. Usa-se a fórmula
O bloco
pois verifica-se
. Logo a solução geral homogênea é
com
constantes.
Passo 7
Montagem da solução geral do sistema.
Em componentes, escrevendo
, temos
Resposta
A solução geral é
com
C1,C2,C3 constantes arbitrárias.