Utilize a matriz exponencial para achar a solução geral do sistema:
X^prime=(ll 1 & 0 0 & 2 ) X+binomte^4 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema não homogêneo
O conteúdo é resolução de sistemas lineares usando a matriz exponencial e o método dos parâmetros variáveis (variação de constantes).

Passo 2

Como A é diagonal, sua matriz exponencial é
e^At = e^t&00&e^2t

Passo 3

A solução geral via variação de constantes é
X(t) = e^AtC + integralt0^t e^A,(t-s),g(s),ds,
onde CinR^2 é constante de integração. Para simplificar, tomamos t0=0.

Passo 4

Calculamos a integral componente a componente. Primeiro
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Passo 5

Compute-se as integrais:
integral0^ts,e^-sds =l[-(s+1)e^-sr]0^t =1-(t+1)e^-t,
integral0^te^2sds =12l(e^2t-1r)
Assim
integral0^te^A(t-s)g(s),ds = e^tl[1-(t+1)e^-tr][0.7em] e^2t,e^2t-12 = e^t-t-1[0.4em] tfrac12,e^4t-tfrac12,e^2t ]

Passo 6

Somando com a parte homogênea e^AtC=(C1e^t,,C2e^2t)^T, obtemos a solução geral
X(t) = C1e^t[0.4em] C2e^2t + e^t-t-1[0.4em] tfrac12,e^4t-tfrac12,e^2t ]

Resposta

boxed X(t) = C1e^t + e^t - t - 1[0.6em] C2e^2t + tfrac12,e^4t - tfrac12,e^2t , C1,C2inR ]

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