Calcule o limite abaixo:
lim x 1 raiz[3]x^2-3 x+2-raiz[3]x^2-1raiz[3]3 x^3-x^2-2+raiz[3]x^3-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando x se aproxima de 1 da seguinte expressão:
lim x 1 raiz[3]x^2-3 x+2-raiz[3]x^2-1raiz[3]3 x^3-x^2-2+raiz[3]x^3-1
Esse problema está dentro do conteúdo de Limites e Continuidade, especificamente lidando com limites que resultam em formas indeterminadas e o uso de raízes cúbicas. Para resolver, vamos precisar manipular as expressões com raízes cúbicas e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente x = 1 na expressão para ver se conseguimos resolver de forma simples:
raiz[3]1^2-3 cdot 1 + 2 = raiz[3]1 - 3 + 2 = raiz[3]0 = 0
raiz[3]1^2-1 = raiz[3]1 - 1 = raiz[3]0 = 0
No numerador, temos 0 - 0 = 0 .
Agora, no denominador:
raiz[3]3 cdot 1^3 - 1^2 - 2 = raiz[3]3 - 1 - 2 = raiz[3]0 = 0
raiz[3]1^3 - 1 = raiz[3]1 - 1 = raiz[3]0 = 0
Então, o denominador também é 0 + 0 = 0 .
Isso nos dá a forma indeterminada 00 , o que significa que precisamos simplificar a expressão para poder calcular o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver limites com raízes é utilizar a fórmula da diferença de cubos ou multiplicar numerador e denominador por expressões que ajudem a eliminar a raiz cúbica. Vamos focar em expandir as expressões dentro das raízes cúbicas.
Vamos reescrever cada radicando de forma fatorada:
Para x^2 - 3x + 2 :
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
Para x^2 - 1 :
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Para 3x^3 - x^2 - 2 :
Vamos fatorar esse polinômio:
3x^3 - x^2 - 2 = x^2(3x - 1) - 2 = (x - 1)(3x^2 + 2x + 2)
Para x^3 - 1 :
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)
Agora, substituímos essas fatorações na expressão original:
raiz[3](x - 1)(x - 2) - raiz[3](x - 1)(x + 1)raiz[3](x - 1)(3x^2 + 2x + 2) + raiz[3](x - 1)(x^2 + x + 1)

Passo 4

Agora, vamos fatorar x - 1 que está presente em todas as partes. Podemos utilizar a propriedade das raízes cúbicas que diz:
raiz[3]a cdot b = raiz[3]a cdot raiz[3]b
Aplicando isso:
No numerador:
raiz[3](x - 1)(x - 2) = raiz[3]x - 1 cdot raiz[3]x - 2
raiz[3](x - 1)(x + 1) = raiz[3]x - 1 cdot raiz[3]x + 1
No denominador:
raiz[3](x - 1)(3x^2 + 2x + 2) = raiz[3]x - 1 cdot raiz[3]3x^2 + 2x + 2
raiz[3](x - 1)(x^2 + x + 1) = raiz[3]x - 1 cdot raiz[3]x^2 + x + 1
Substituindo de volta na expressão:
raiz[3]x - 1 cdot raiz[3]x - 2 - raiz[3]x - 1 cdot raiz[3]x + 1raiz[3]x - 1 cdot raiz[3]3x^2 + 2x + 2 + raiz[3]x - 1 cdot raiz[3]x^2 + x + 1

Passo 5

Percebemos que raiz[3]x - 1 é um fator comum no numerador e no denominador. Podemos fatorar isso:
raiz[3]x - 1 cdot ( raiz[3]x - 2 - raiz[3]x + 1 ) div ( raiz[3]x - 1 cdot ( raiz[3]3x^2 + 2x + 2 + raiz[3]x^2 + x + 1 ) )
Agora, podemos cancelar raiz[3]x - 1 no numerador e denominador, desde que x neq 1 , o que é válido para o limite quando x se aproxima de 1:
raiz[3]x - 2 - raiz[3]x + 1raiz[3]3x^2 + 2x + 2 + raiz[3]x^2 + x + 1

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, vamos tentar substituir x = 1 novamente:
Calculando o numerador:
raiz[3]1 - 2 - raiz[3]1 + 1 = raiz[3]-1 - raiz[3]2 = -1 - raiz[3]2
Calculando o denominador:
raiz[3]3(1)^2 + 2(1) + 2 + raiz[3]1^2 + 1 + 1 = raiz[3]3 + 2 + 2 + raiz[3]1 + 1 + 1 = raiz[3]7 + raiz[3]3
Então, o limite se torna:
-1 - raiz[3]2raiz[3]7 + raiz[3]3

Resposta

O limite é igual a dfrac-1 - raiz[3]2raiz[3]7 + raiz[3]3.

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