Calcule o limite abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando
se aproxima de 1 da seguinte expressão:
Esse problema está dentro do conteúdo de Limites e Continuidade, especificamente lidando com limites que resultam em formas indeterminadas e o uso de raízes cúbicas. Para resolver, vamos precisar manipular as expressões com raízes cúbicas e aplicar propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente
na expressão para ver se conseguimos resolver de forma simples:
No numerador, temos
.
Agora, no denominador:
Então, o denominador também é
.
Isso nos dá a forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para poder calcular o limite.
Passo 3
Uma técnica útil para resolver limites com raízes é utilizar a fórmula da diferença de cubos ou multiplicar numerador e denominador por expressões que ajudem a eliminar a raiz cúbica. Vamos focar em expandir as expressões dentro das raízes cúbicas.
Vamos reescrever cada radicando de forma fatorada:
Para
:
Para
:
Para
:
Vamos fatorar esse polinômio:
Para
:
Agora, substituímos essas fatorações na expressão original:
Passo 4
Agora, vamos fatorar
que está presente em todas as partes. Podemos utilizar a propriedade das raízes cúbicas que diz:
Aplicando isso:
No numerador:
No denominador:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 5
Percebemos que
é um fator comum no numerador e no denominador. Podemos fatorar isso:
Agora, podemos cancelar
no numerador e denominador, desde que
, o que é válido para o limite quando
se aproxima de 1:
Passo 6
Agora que simplificamos a expressão, vamos tentar substituir
novamente:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então, o limite se torna:
Resposta
O limite é igual a
.