Calcule.
integral0^1 arctg x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1arctgx,dx
Aqui vamos usar o método de integração por partes, pois temos um produto envolvendo uma função cujo antiderivado direto não é trivial ( arctgx) e uma diferencial simples ( dx).

Passo 2

Escolhemos em integração por partes
u = arctgx, dv = dx
Então
du = 11+x^2,dx, v = x
Pela fórmula
integral u,dv = uv - integral v,du,
temos
integral0^1arctgx,dx = l[x,arctgxr]0^1 - integral0^1x1+x^2,dx

Passo 3

Agora calculamos
integral0^1x1+x^2,dx
Fazemos a substituição t = 1+x^2, então dt = 2x,dx ou x,dx = tfrac12,dt. Quando x=0, t=1; quando x=1, t=2. Logo
integral0^1x1+x^2,dx = 12integral1^2dtt = 12l[ln tr]1^2 = 12ln 2

Passo 4

Calculamos o termo de contorno
l[x,arctgxr]0^1 = 1cdotpi4 - 0cdot 0 = pi4
Portanto
integral0^1arctgx,dx = pi4 - 12ln 2

Resposta

integral0^1arctgx,dx = pi4 - 12ln 2

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