Ache a solução geral do sistema dado.
X^prime=[cc10 & -5 8 & -12] X

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações diferenciais lineares homogêneas
X' = A,X,
com
A = 10 & -5 8 & -12
Para resolver, vamos usar o método de autovalores e autovetores: primeiro calculamos o polinômio característico de A para achar seus autovalores, depois determinamos os autovetores correspondentes e, finalmente, escrevemos a solução geral como combinação linear das soluções fundamentais.

Passo 2

Calcule o polinômio característico de A.
detl(A - lambda Ir) = det10-lambda & -5 8 & -12-lambda = (10-lambda)(-12-lambda) - (-5)cdot 8
Expandindo,
(10-lambda)(-12-lambda) + 40 = -120 -10lambda +12lambda +lambda^2 +40 = lambda^2 +2lambda -80
Igualando a zero,
lambda^2 +2lambda -80 = 0 Longrightarrow lambda = -2pmraiz4 +3202 = -2pm182,
portanto
lambda1 = 8 e lambda2 = -10.

Passo 3

Encontre o autovetor para lambda1=8 resolvendo
l(A-8Ir)v=0, isto é,
2 & -5 8 & -20 v1 v2 = 00
Da primeira linha vem 2v1 -5v2=0, logo v1=tfrac52v2. Tomando v2=2, obtemos
v^(1) = 52

Passo 4

Encontre o autovetor para lambda2=-10 resolvendo
l(A+10Ir)v=0, isto é,
20 & -5 8 & -2 v1 v2 = 00
Da primeira linha vem 20v1 -5v2=0, logo v2=4v1. Tomando v1=1, obtemos
v^(2) = 14

Passo 5

A solução geral do sistema é a combinação linear das soluções fundamentais v^(1)e^lambda1 t e v^(2)e^lambda2 t. Assim,
X(t) = C1,v^(1)e^8t + C2,v^(2)e^-10t = C1 52e^8t + C2 14e^-10t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

X(t) = C1 52e^8t + C2 14e^-10t

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