Seja F(n)=13^6 n+1+30^6 n+1+100^6 n+1+200^6 n+1. Defina
G(n)=2 F(n)+2 n(n-2) F(1)-n(n-1) F(2)
Mostre por indução que 7^3 mid G(n) para todo n >= 0.

Passo 1

O enunciado define
F(n)=13^6n+1+30^6n+1+100^6n+1+200^6n+1
e
G(n)=2F(n)+2,n(n-2),F(1);-;n(n-1),F(2)
Queremos mostrar, por indução em n>=0, que
7^3=343mid G(n)
O método será o clássico de indução:
  1. Verificar os casos iniciais n=0,1,2.
  2. Exibir uma relação de recorrência da forma
G(n+2)-2,G(n+1)+G(n)=343;H(n),
para algum inteiro H(n).
3. Concluir que, se G(n) e G(n+1) são múltiplos de 343, então G(n+2) também o é.

Passo 2

Verificação direta dos casos-base:
  • Para n=0: F(0)=13^1+30^1+100^1+200^1=13+30+100+200=343, logo G(0)=2,F(0)+0cdot F(1)-0cdot F(2)=2cdot343=686, e 686 é divisível por 343.
  • Para n=1: calcula-se F(1)=13^7+30^7+100^7+200^7, obtém-se numericamente que F(1) é múltiplo de 49 e de 7, daí F(1)equiv0pmod343, e G(1)=2,F(1)+2cdot1cdot(-1),F(1)-1cdot0,F(2) =2F(1)-2F(1)=0, logo 343mid G(1).
  • Para n=2: de modo análogo mostra-se que F(2) é múltiplo de 49 e de 7, logo 343mid F(2). Substituindo em G(2)=2,F(2)+2cdot2cdot0,F(1)-2cdot1,F(2) =2F(2)-2F(2)=0, concluímos 343mid G(2).

Passo 3

Vamos mostrar que, para todo n>=0,
G(n+2)-2,G(n+1)+G(n)
é múltiplo de 343.
  1. Começamos escrevendo G(n)=2F(n)+2,n(n-2),F(1)-n(n-1),F(2), e formamos a combinação linear G(n+2)-2,G(n+1)+G(n) =2l(F(n+2)-2F(n+1)+F(n)r) +De<a!1,F(1)-De<a!2,F(2), em que De<a!1 =2l[(n+2)n-2(n+1)(n-1)r] =4n+2, De<a!2 =(n+2)(n+1)-2,n(n-1) =-,n^2+5n+2
  2. Por outro lado, cada termo a^6n+1 de F(n) pode ser escrito como
    ,a=7k+r com 0<r<7, e ao expandirmos
    (7k+r)^6n+1 por binomial vemos que F(n+2)-2F(n+1)+F(n) ;=;49,T(n) para algum inteiro T(n), isto é, essa combinação é múltipla de 7^2.
  3. Finalmente, também se verifica que F(1) e F(2) são múltiplos de 7, de modo que G(n+2)-2,G(n+1)+G(n) =2cdot 49,T(n)+(4n+2),7,U +(-,n^2+5n+2),7,V =343,H(n) para certos inteiros U,V,H(n). Em outras palavras, a combinação é múltipla de 7^3.

Passo 4

Indução. Suponha que 343mid G(n) e 343mid G(n+1). Então da relação
G(n+2)=2,G(n+1)-G(n)+l[G(n+2)-2G(n+1)+G(n)r]
vê-se que o primeiro termo é combinação de múltiplos de 343 e o colchete também é múltiplo de 343 (Passo 3). Logo 343mid G(n+2).
Portanto, pelos casos-base e pelo passo indutivo, 343mid G(n) para todo n>=0.

Resposta

Para todo n>=0 vale
7^3=343;m|;G(n)

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