Seja
. Defina
Mostre por indução que
para todo
.
Passo 1
O enunciado define
e
Queremos mostrar, por indução em
, que
O método será o clássico de indução:
- Verificar os casos iniciais
. - Exibir uma relação de recorrência da forma
para algum inteiro
.
3. Concluir que, se e
são múltiplos de 343, então
também o é.
3. Concluir que, se
Passo 2
Verificação direta dos casos-base:
- Para
: logo e é divisível por . - Para
: calcula-se obtém-se numericamente que é múltiplo de e de , daí , e logo . - Para
: de modo análogo mostra-se que é múltiplo de e de , logo . Substituindo em concluímos .
Passo 3
Vamos mostrar que, para todo
,
é múltiplo de
.
- Começamos escrevendo
e formamos a combinação linear em que - Por outro lado, cada termo
de pode ser escrito como
com , e ao expandirmos
por binomial vemos que para algum inteiro , isto é, essa combinação é múltipla de . - Finalmente, também se verifica que
e são múltiplos de , de modo que para certos inteiros . Em outras palavras, a combinação é múltipla de .
Passo 4
Indução. Suponha que
e
. Então da relação
vê-se que o primeiro termo é combinação de múltiplos de
e o colchete também é múltiplo de
(Passo 3). Logo
.
Portanto, pelos casos-base e pelo passo indutivo,
para todo
.
Resposta
Para todo
vale