Seja R a região do plano x y delimitada pelas curvas y=raizx+1, y=-1, x=-1, x=1. Seja S o sólido obtido por revolução de R em torno da reta x=-2. Escreva, sem calcular, as integrais que representam:
o volume de S, pelo método do fatiamento.

Passo 1

O enunciado define a região RsubsetR^2 dada por
-1<= x<= 1, -1<= y<= raizx+1,
e pede o volume do sólido S obtido pela revolução de R em torno da reta x=-2, usando o método do fatiamento (discos/anéis).

Passo 2

Identificamos as cotas em y: o menor valor é y=-1 (reta inferior) e o maior é
ymax=raiz1+1=raiz2

Passo 3

Para um y fixo, a fatia horizontal vai de
  • xrm <=ft=-1 a xrm right=1 sempre que y<= 0, pois então raizx+1>=0>= y para todo -1<= x<=1.
  • xrm <=ft=y^2-1 a xrm right=1 quando 0<= y<=raiz2, pois aí y<=raizx+1iff x>= y^2-1.

Passo 4

Ao girar a fatia de espessura em torno de , obtemos um anel de raio externo
e raio interno
A área do anel é
logo a contribuição ao volume é .

Passo 5

Somando as fatias em e em temos
Em forma simplificada:

Resposta

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