Para todo inteiro positivo n vale que
2^2^n+3^2^n+5^2^n
é divisível por 19 .

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo inteiro positivo n, a soma
Sn = 2^2^n + 3^2^n + 5^2^n
é múltipla de 19. Vamos usar teoria de congruências e o Teorema de Euler para trabalhar com potências módulo 19.

Passo 2

Como gcd(a,19)=1 para ain2,3,5, o Teorema de Euler diz que
a^varphi(19) equiv 1 pmod19,
onde varphi(19)=18. Logo, para qualquer inteiro m,
a^m equiv a^,m bmod 18pmod19
Em particular,
2^2^nequiv 2^,2^nbmod 18, 3^2^nequiv 3^,2^nbmod 18, 5^2^nequiv 5^,2^nbmod 18 pmod19
Portanto
Sn equiv 2^rn+3^rn+5^rnpmod19,
onde rn = 2^n bmod 18.

Passo 3

Vamos estudar a sequência rn=2^n bmod 18. Calculando para n=1,2,dots:
c|cccccc n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 hline 2^n & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 2^nbmod18 & 2 & 4 & 8 & 16 & 14 & 10
E observe que 2^7bmod18=2, ou seja, a sequência (rn) é periódica de período 6:
rn+6 = rn forall n>=1

Passo 4

Da periodicidade de rn segue que
Sn+6 equiv 2^rn+6+3^rn+6+5^rn+6 equiv 2^rn+3^rn+5^rn equiv Sn pmod19
Portanto basta verificar a divisibilidade por 19 para n=1,2,dots,6.

Passo 5

Calculamos Sn módulo 19 para n=1,dots,6:
  1. n=1: r1=2,
    S1=2^2+3^2+5^2=4+9+25=38equiv0pmod19
  2. n=2: r2=4,
    S2=2^4+3^4+5^4=16+81+625=722equiv0pmod19
  3. n=3: r3=8,
    2^8equiv256equiv9, 3^8equiv6, 5^8equiv4pmod19,
S3equiv9+6+4=19equiv0pmod19
  1. n=4: r4=16, note que 16equiv-2pmod18, 2^16equiv2^-2equiv(2^2)^-1=4^-1equiv5, 3^16equiv3^-2equiv9^-1equiv17,
5^16equiv5^-2equiv(5^2)^-1=6^-1equiv16,
S4equiv5+17+16=38equiv0pmod19
  1. n=5: r5=14, 2^14equiv2^-4equiv16^-1equiv6, 3^14equiv3^-4equiv5^-1equiv4, 5^14equiv5^-4equiv17^-1equiv9,
S5equiv6+4+9=19equiv0pmod19
  1. n=6: r6=10, 2^10equiv1024equiv17, 3^10equiv16, 5^10equiv5,
S6equiv17+16+5=38equiv0pmod19
Em todos os casos Snequiv0pmod19.

Resposta

Para todo inteiro positivo n,
2^2^n + 3^2^n + 5^2^n
é divisível por 19.

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