Para todo inteiro positivo
vale que
é divisível por 19 .
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo inteiro positivo
, a soma
é múltipla de 19. Vamos usar teoria de congruências e o Teorema de Euler para trabalhar com potências módulo 19.
Passo 2
Como
para
, o Teorema de Euler diz que
onde
. Logo, para qualquer inteiro
,
Em particular,
Portanto
onde
.
Passo 3
Vamos estudar a sequência
. Calculando para
:
E observe que
, ou seja, a sequência
é periódica de período 6:
Passo 4
Da periodicidade de
segue que
Portanto basta verificar a divisibilidade por 19 para
.
Passo 5
Calculamos
módulo 19 para
:
-
: , -
: , -
: ,
-
: , note que ,
-
: ,
-
: ,
Em todos os casos
.
Resposta
Para todo inteiro positivo
,
é divisível por 19.