Ache a solução geral do sistema dado.
d xd t=3 x-y-z
d yd t=x+y-z
d zd t=x-y+z

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes
dxdt=3x-y-z, dydt=x+y-z, dzdt=x-y+z
O conteúdo é sistemas lineares dot X = A,X com A constante; vamos montar A, achar seus autovalores e autovetores, e então escrever a solução geral como combinação linear de e^lambda t vezes os autovetores.

Passo 2

Escrevemos em forma matricial dot X=A,X com X=(x,y,z)^T. A matriz A é
A= 3 & -1 & -1 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1

Passo 3

Calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I)=det 3-lambda & -1 & -1 1 & 1-lambda & -1 1 & -1 & 1-lambda =0
Fazendo a expansão e fatorando, obtém-se
lambda^3-5lambda^2+8lambda-4=(lambda-1)(lambda-2)^2=0,
logo os autovalores são lambda1=1 (simples) e lambda2=lambda3=2 (multiplicidade 2).

Passo 4

Para resolvemos , ou seja
Dessas equações segue e . Um autovetor associado é

Passo 5

Para resolvemos , ou seja
que dá a única condição . O espaço próprio tem dimensão 2 e podemos escolher dois vetores independentes, por exemplo

Passo 6

Como há três autovetores independentes, a solução geral é
X(t)=C1 e^1cdot t,v1 + C2 e^2cdot t,v2 + C3 e^2cdot t,v3,
isto é, em componentes
x(t)=C1e^t + C2e^2t + C3e^2t, y(t)=C1e^t + C2e^2t, z(t)=C1e^t + C3e^2t,
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

x(t)=C1e^t + (C2+C3)e^2t, y(t)=C1e^t + C2e^2t, z(t)=C1e^t + C3e^2t,
com C1,C2,C3inR.

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