Ache a solução geral do sistema dado.
X^prime=[ccc1 & 0 & 0 2 & 2 & -1 0 & 1 & 0] X

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que foi dado:
X' = 1 & 0 & 0 2 & 2 & -1 0 & 1 & 0 X
Aqui, a matéria que vamos usar envolve sistemas de equações diferenciais lineares com matrizes. Vamos precisar encontrar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) desse sistema para montar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, calculamos o determinante de A - lambda I igual a zero:
det(1-lambda & 0 & 0 2 & 2-lambda & -1 0 & 1 & -lambda) = 0
Calculando o determinante, descobrimos que o único autovalor é lambda = 1 , com multiplicidade 3.

Passo 3

Agora, vamos achar os vetores próprios associados a lambda = 1 . Resolvemos (A - I)X = 0 :
0 & 0 & 0 2 & 1 & -1 0 & 1 & -1 x1 x2 x3 = 0 0 0
Das equações resultantes, encontramos que os vetores próprios têm a forma X = [0, s, s]^T , onde s é qualquer número real. Então, temos um vetor próprio: 0 1 1 .

Passo 4

Como a multiplicidade do autovalor é maior que o número de vetores próprios, precisamos encontrar vetores generalizados. Para isso, resolvemos (A - I)^2 X = 0 :
(A - I)^2 = 0 & 0 & 0 2 & 0 & 0 2 & 0 & 0
A solução desse sistema nos dá que os vetores generalizados têm x1 = 0 , e x2 e x3 são livres. Escolhemos um vetor generalizado: 0 1 0 .

Passo 5

Ainda precisamos de mais um vetor generalizado. Resolvemos (A - I)V = vetor generalizado encontrado anteriormente:
(A - I)v1 v2 v3 = 0 1 0
Resolvendo, encontramos v1 = 12 , v2 = v3 . Escolhemos v3 = 0 para simplificar, obtendo 12 0 0 .

Passo 6

Com os vetores próprios e generalizados, podemos montar a solução geral. Cada vetor contribui com termos envolvendo e^lambda t e polinômios de t :
X(t) = c1 e^t 0 1 1 + c2 e^t ( 12 0 0 + t 0 1 1 ) + c3 e^t ( 0 1 0 + t 0 1 1 )

Resposta

A solução geral do sistema é:
X(t) = e^t [ c1 0 1 1 + c2 ( 12 0 0 + t 0 1 1 ) + c3 ( 0 1 0 + t 0 1 1 ) ]
Onde c1 , c2 e c3 são constantes arbitrárias.

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