Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que foi dado:
X' = 1 & 0 & 0 2 & 2 & -1 0 & 1 & 0 X
Aqui, a matéria que vamos usar envolve sistemas de equações diferenciais lineares com matrizes. Vamos precisar encontrar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) desse sistema para montar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, calculamos o determinante de A - lambda I igual a zero:
Calculando o determinante, descobrimos que o único autovalor é lambda = 1 , com multiplicidade 3.
Passo 3
Agora, vamos achar os vetores próprios associados a lambda = 1 . Resolvemos (A - I)X = 0 :
0 & 0 & 0 2 & 1 & -1 0 & 1 & -1 x1 x2 x3 = 0 0 0
Das equações resultantes, encontramos que os vetores próprios têm a forma X = [0, s, s]^T , onde s é qualquer número real. Então, temos um vetor próprio: 0 1 1 .
Passo 4
Como a multiplicidade do autovalor é maior que o número de vetores próprios, precisamos encontrar vetores generalizados. Para isso, resolvemos (A - I)^2 X = 0 :
(A - I)^2 = 0 & 0 & 0 2 & 0 & 0 2 & 0 & 0
A solução desse sistema nos dá que os vetores generalizados têm x1 = 0 , e x2 e x3 são livres. Escolhemos um vetor generalizado: 0 1 0 .
Passo 5
Ainda precisamos de mais um vetor generalizado. Resolvemos (A - I)V = vetor generalizado encontrado anteriormente: