Find a general solution. Show the steps of derivation. Check your answer by substitution.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais. A gente precisa encontrar a solução geral da equação
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e integrais, e uma técnica chamada separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação nos diz. A derivada de
em relação a
é igual a
. Isso significa que a taxa de mudança de
depende da função
.
Passo 3
A equação
é uma equação diferencial separável, o que quer dizer que conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. Vamos fazer isso:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão. Sabemos que
, mas para integrar é mais fácil reconhecer que
. Então:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
em relação a
e a integral de
em relação a
:
Passo 6
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica
:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo:
Simplificando:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde
é uma constante de integração ajustada.
Passo 9
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação
é: