Find a general solution. Show the steps of derivation. Check your answer by substitution.
y^prime=sec ^2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais. A gente precisa encontrar a solução geral da equação y' = sec^2 y . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e integrais, e uma técnica chamada separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação nos diz. A derivada de y em relação a x é igual a sec^2 y . Isso significa que a taxa de mudança de y depende da função sec^2 y .

Passo 3

A equação y' = sec^2 y é uma equação diferencial separável, o que quer dizer que conseguimos separar as variáveis y e x em lados opostos da equação. Vamos fazer isso:
dydx = sec^2 y Rightarrow dysec^2 y = dx

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão. Sabemos que sec^2 y = 1 + tan^2 y , mas para integrar é mais fácil reconhecer que 1sec^2 y = cos^2 y . Então:
cos^2 y , dy = dx

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de cos^2 y em relação a y e a integral de 1 em relação a x :
integral cos^2 y , dy = integral dx

Passo 6

Para integrar cos^2 y , usamos a identidade trigonométrica cos^2 y = 1 + cos 2y2 :
integral 1 + cos 2y2 , dy = integral dx
Isso simplifica para:
12 integral (1 + cos 2y) , dy = x + C

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo:
12 ( y + sin 2y2 ) = x + C
Simplificando:
y2 + sin 2y4 = x + C

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
y + sin 2y2 = 2x + C'
Onde C' é uma constante de integração ajustada.

Passo 9

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
y + sin 2y2 = 2x + C

Resposta

A solução geral da equação y' = sec^2 y é:
y + sin 2y2 = 2x + C

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