Find a general solution. Show the steps of derivation. Check your answer by substitution.
y^prime sin 2 pi x=pi y cos 2 pi x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
;y'(x),sin(2pi x)=pi,y(x),cos(2pi x)
e pede a solução geral. O conteúdo essencial é equação de primeira ordem separável de variáveis.

Passo 2

Vamos separar as variáveis. Assumindo y(x)neq0 e sin(2pi x)neq0, dividimos ambos os lados por y(x)sin(2pi x):
y'(x)y(x) ;=;pi,cos(2pi x)sin(2pi x) ;=;pi,cot(2pi x)

Passo 3

Repare que y'y=ddxl(ln|y|r). Integramos em x:
integral ddxl(ln|y|r),dx =integral pi,cot(2pi x),dx
Para integrar o lado direito, faça u=2pi x, logo du=2pi,dx e dx=tfracdu2pi:
integral pi,cot(2pi x),dx =piintegral cot(u),du2pi =tfrac12integral cot(u),du =tfrac12lnl|sin ur|+C
Voltando a x:
ln|y|=tfrac12lnl|sin(2pi x)r|+C

Passo 4

Exponentiando,
|y|=e^C,l|sin(2pi x)r|^1/2
Definindo K=pm e^C (constante arbitrária real), obtemos
y(x)=Kraizsin(2pi x)

Passo 5

Verificação por substituição:
y'(x) =K,12raizsin(2pi x)cdotcos(2pi x)cdot2pi =Kpicos(2pi x)raizsin(2pi x)
Então
y'(x),sin(2pi x) =Kpicos(2pi x)raizsin(2pi x);sin(2pi x) =Kpicos(2pi x)raizsin(2pi x)
e
pi,y(x),cos(2pi x) =pi,l(Kraizsin(2pi x)r)cos(2pi x) =Kpicos(2pi x)raizsin(2pi x)
Como LHS = RHS, a solução está correta.

Resposta

y(x)=Kraizsin(2pi x), KinR

Exercícios relacionados