Seja R a região do plano x y delimitada pelas curvas x=y^2-1, x=3. Seja S o sólido obtido por revolução de R em torno da reta y=2. Escreva, sem calcular, as integrais que representam:
o volume de S, pelo método das cascas cilíndricas

Passo 1

O enunciado define a região R do plano xy limitada pelas curvas
x = y^2 - 1
e
x = 3
e pede o volume do sólido S obtido ao girar R em torno da reta y=2 usando o método das cascas cilíndricas. Para aplicar esse método, vamos usar tiras horizontais (em y) e a fórmula
dV = 2pi;(raio);(a<ura da casca);(espessura),

Passo 2

Para uma tira horizontal a uma altura genérica y:
  • a espessura é dy,
  • a altura da casca (comprimento da tira em x) é
3 - l(y^2 - 1r) = 4 - y^2,
  • o raio da casca (distância de y até o eixo y=2) é
|2 - y|
A região em y vai dos pontos de interseção de y^2-1 = 3, ou seja y^2 = 4, daí y=-2 e y=2.

Passo 3

Como em todo o intervalo -2<= y<= 2 temos 2-y>=0, podemos escrever o raio simplesmente como 2-y. Logo o volume total é
V ;=;integraly=-2^2 2pi,(2-y),(4-y^2),dy

Resposta

V = 2pi integral-2^2 (2 - y),(4 - y^2),dy

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