Find a general solution. Show the steps of derivation. Check your answer by substitution.
y^prime=e^2 x-1 y^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y' = e^2x-1,y^2
O método adequado aqui é separar variáveis, integrar e depois resolver para y.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro:
dyy^2 = e^2x-1,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados. À esquerda,
integral dyy^2 = integral y^-2,dy = -1y
À direita,
integral e^2x-1,dx = e^-1integral e^2x,dx = e^-1cdote^2x2 = 12e^2x-1
Incluindo a constante de integração C, obtemos
-1y = 12e^2x-1 + C

Passo 4

Isolando y, temos
-1y = 12e^2x-1 + C Longrightarrow 1y = -12e^2x-1 - C
Logo
y = 1-tfrac12 e^2x-1 - C
Para simplificar, definimos uma nova constante K = -C, obtendo a forma mais usual
boxedy(x) = 1K - tfrac12,e^2x-1,
onde K é constante arbitrária.

Passo 5

Verificação por substituição: seja
y(x)=l(K - tfrac12e^2x-1r)^-1
Então
y' = -1cdotl(K - tfrac12e^2x-1r)^-2cdotl(-tfrac12cdot2e^2x-1r) = e^2x-1l(K - tfrac12e^2x-1r)^2 = e^2x-1,y^2,
confirmando que a solução satisfaz a EDO original.

Resposta

y(x) = 1K - tfrac12,e^2x-1,
com K constante arbitrária.

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