Find a general solution. Show the steps of derivation. Check your answer by substitution.
x y^prime=y+2 x^3 sin ^2 yx ( Set y / x=u)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x,y' = y + 2x^3sin^2yx
e sugere a substituição u = y/x. O conteúdo aqui é reconhecer que a equação é homogênea em y e x e depois usar separação de variáveis para u(x).

Passo 2

Defina
u = yx,
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y = u,x
Diferenciando em relação a x, temos
y' = x,u' + u

Passo 3

Substituindo em x,y' = y + 2x^3sin^2(u) obtemos
xl(x,u' + ur) = u,x + 2x^3sin^2(u),
ou seja
x^2,u' + x,u = x,u + 2x^3sin^2(u),
e cancelando x,u em ambos os lados segue
x^2,u' = 2x^3sin^2(u)

Passo 4

Isolando u' e separando variáveis dá
dudx = 2xsin^2(u) Longrightarrow dusin^2(u) = 2x,dx

Passo 5

Integrando cada lado:
integral csc^2(u),du = integral 2x,dx
resulta em
-cot(u) = x^2 + C

Passo 6

Voltando à variável original y e x, com u=y/x, a solução implícita é
-cot!l(tfracyxr) = x^2 + C
ou, equivalentemente,
cot!l(tfracyxr) + x^2 = C'

Passo 7

Verificação rápida: derive implicitamente
cot!l(tfracyxr) + x^2 = C'
usando
ddxcot(u)=-csc^2(u),u' e
u'=y'-ux.
Isso leva de volta à forma
x,y' = y + 2x^3sin^2!l(tfracyxr)

Resposta

boxedcot!l(tfracyxr) + x^2 = C

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